OliForum Matematico

C'è qualcuno che conosce la dimostrazione del teorema di Froda?
Ogni funzione di una variabile reale ha un numero di discontinuità di prima specie al più numerabile.

Sinceramente non mi ricordo quali erano chiamate discontinuita' di prima specie, potresti rinfrescarmelo (penso siano quelle a salto, ma non sono sicuro)? Se fossero quelle a salto sarebbe una genealizzazione del teorema che dice che ogni funzione monotona ha un numero di discontinuita' numerabile, quindi sembra plausibile. Provo a pensarci in questa versione, eventualmente correggimi (o confermami).
Ciao

Piera non se ne avrà a male se rispondo io : sì, le discontinuità di prima specie sono quelle per cui esistono limite destro e sinistro ma non coincidono ... onestamente, il teorema l'avevo già sentito, ma non ho mai visto una dimostrazione.

Mi sembrava che mi fosse familiare e infatti sul De Marco e' posto come esercizio la dimostrazione della restrizione alle funzioni monotone.
Suggerisce di iniziare a dimostrare che una famiglia disgiunta $ (I_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} $ di intervalli non degeneri di $ \,\mathbb{R} $ ha cardinalita' al piu' numerabile. Poi usare i punti di discontinuita' come estremi dei membri di una famiglia di intervalli.
Mi sembra che il ragionamento dovrebbe andare bene anche in questo caso piu' generale

Nel caso generale gli intervalli non sono disgiunti ... il problema è tutto lì.
La dimostrazione per le funzioni monotone è ben nota del resto.

cercando di chiederti perche' sono disgiunti mi e' venuto in mente: Sono disgiunti perche' hanno un estremo in comune?

Allora, ripeto : nel caso generale NON sono disgiunti.
Per le monotone, semplicemente si ha che $ \displaystyle{a(x_0)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)\leq\lim_{x\to x_0^+}f(x)=b(x_0) $ per ogni x_0; quindi i punti di discontinuità sono associati a intervalli non banali $ (a(x_0),b(x_0)) $ tutti disgiunti (perchè, ovviamente, a(x)>b(y) se x>y) e dunque sono al più numerabili.
Vedi bene che senza la monotonia non funziona nulla.

Mi ero sbagliato infatti. Stavo pensando al dominio invece che al codominio

Hmm forse ci sono :
prendiamo un punto x t.c. $ f(x^-)\neq f(x^+) $ (supponiamo $ f(x^-)< f(x^+) $)
associamogli : (p,q,r)
p razionale t.c. $ f(x^-)< p <f(x^+) $
q razionale t.c. se $ q< t< x $ allora $ f(t) < p $
r razionale t.c. se $ x< t < r $ allora $ p < f(t) $
ogni terna individua un'unica discontinuità della prima specie, quindi tali discontinuità sono numerabili, al più.

EvaristeG ha scritto:ogni terna individua un'unica discontinuità della prima specie

Se vogliamo fare i pidocchiosi, è sufficiente prendere le coppie (q,r) anziché le terne (p,q,r).

Grazie a tutti!!

Uffa, siete troppo attivi! Stando alla scuola di Gottinga leggo il forum al massimo una volta al giorno, cosi' ogni giorno vedo il testo dei problemi e il giorno dopo ci sono gia' le soluzioni.
Beh, comunque meglio che un forum morto perche' d'estate sono tutti al mare
Ciao a tutti
Andrea

Fondamentalmente, non ho quasi nulla da fare d'estate, in questo paesello lacustre desertificato dalle ferie, quindi (mentre preparo Strocchi&Zannier per settembre) posso dedicarmi un po' al forum ... il resto dell'anno non posto quasi nulla di produttivo.