OliForum Matematico

Un po di sistemi lineari.....

PARTE I)

Saiano
$ a_n,b_n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\infty<n<+\infty $
due successioni periodiche di numeri reali con periodo $ N $, ossia
$ a_{n+N}=a_n,\ \ \ b_{n+N}=b_n\ \ \ \ \ \ \forall\ n. $
Siano tutti gli $ a_n $ diversi da zero. Dato il sistema lineare di eqauazioni (dipendente dal parametro $ \lambda $)

$ a_n\psi_{n-1}+b_n\psi_n+a_{n+1}\psi_{n+1}=\lambda\psi_n\ \ \ \ \ -\infty<n<+\infty $

nello spazio delle successioni complesse $ \{\psi_n\} $ dimostrare che per ogni valore complesso $ \lambda $ esiste una soluzione non nulla $ \{\psi_n\} $ che verifica

$ \psi_{n+N}=\mu\psi_n $

per qualche coefficiente complesso $ \mu $.

Spero che il quesito non sia eccessivamente noioso. A me non piace ma ho la necessità di risolverlo. Ho una soluzione che tuttavia non mi convince ne tantomeno mi soddisfa (un carpenterie potrebbe fare di meglio). Ve la propongo aspettando i vostri commenti e suggerimenti.

Osserviamo che se $ \psi_{N+n}=\mu\psi_n $ allora
$ a_{N+n}\psi_{N+n-1}+b_{N+n}\psi_{N+n}+a_{N+n+1}\psi_{N+n+1} $
è uguale a
$ \mu[a_{n}\psi_{n-1}+b_{n}\psi_{n}+a_{n+1}\psi_{n+1}]. $
Per la linearità delle equazioni se si trovano dei valori $ \psi_0,\ldots,\psi_{N-1} $ che verificano le prime $N$ equazioni lineari allora si può ottenre una soluzione generale estendendo la serie tramite la relazione $ \psi_{N+n}=\mu\psi_n $. Poiché gli $ a_n $ sono assunti tutti non nulli possiamo riscrivere l'equazione generica nel modo seguente
$ \psi_{n+1}=\frac{b_n-\lambda}{a_{n+1}}\psi_n+\frac{a_n}{a_{n+1}}\psi_{n-1}. $
Questa è una formula ricorsiva e fissati (arbitrariamente)
$ \psi_0 $ e $ \psi_1 $ consente di determinare i termini successivi. In questo modo si possono ottenre gli $ N-2 $ valori di $ \psi_2,\ldots,\psi_{N-1} $ in funzione dei valori iniziali $ \psi_0 $ e $ \psi_1 $. L'equazione successiva determina la condizione di "raccordo" per $ \mu $ nel senso che
$ \psi_{N}=\mu\psi_0=\frac{b_{N-1}-\lambda}{a_0}\psi_{N-1}+\frac{a_{N-1}}{a_0}\psi_{N-2}. $
da cui imponendo $ \psi_0\neq0 $ si ottiene l'equazione per $ \mu $
$ \mu=\frac{b_{N-1}-\lambda}{a_0}\frac{\psi_{N-1}}{\psi_0}+\frac{a_{N-1}}{a_0}\frac{\psi_{N-2}}{\psi_0}. $
essendo $ \psi_{N-1} $ e $ \psi_{N-2} $ funzioni lineari di $ \psi_{1} $ e $ \psi_{0} $.

Non vedo il dilemma, la soluzione e' lineare (ahahah.. battutona ), piu' semplice di cosi'... Il problema non ti chiede di provare che tutte le soluzioni sono di quel tipo, ma solo che successioni di quel tipo sono soluzioni.... e poiche' e' un sistema periodico omogeneo il risultato e' immediato...

Magari bisogna provare che almeno una soluzione di quel tipo (non banale) esiste! Questo è il senso della mia costruzione (se è corretta)!

La tua osservazione non fa una sgrinza...