OliForum Matematico

(da mathlinks ... facile una volta che lo si risolve)

Siano date due circonferenze che si secano in punti distinti A, B; sia C un punto distinto da A e B su una di queste e sia D l'ulteriore intersezione di AC con l'altra.
Siano M, N i punti medi degli archi BC, BD che non contengono A e sia K il punto medio di CD.
Mostrare che il triangolo MNK è rettangolo in K.

(hint : non abbiate paura ad aggiungere parti al disegno)

Solo una precisazione (perchè ho sbagliato varie volte il disegno): in alcune configurazioni può essere necessario che l'arco BC di cui N o M deve essere il punto medio deve contenere A.

Edriv, penso di no... descrivi la configurazione in cui dovrebbe essere così per far valere la tesi...

(Considerate il fatto che in quanto a sbagliare i disegni dei problemi di geometria credo nessuno in questo forum riesca a fare meglio di me)

Considera questo disegno... cosa c'è che non va?

(sei sicuro che quell'angolo valga 85?)

Comunque, nel dubbio, si può aggiungere l'ipotesi che A stia tra C e D.

Posto le idee base della mia soluzione, me ne frego volutamente di tutti i problemi di configurazione, che richiedono di orientare gli angoli e fare le cose per bene (anche perche' qui non ho ne' riga ne' compasso, quindi non e' facilissimo...).

Costruiamo il punto C' come il simmetrico di C rispetto a M. Allo stesso modo D' e' il simmetrico di D rispetto a N. La tesi e' equivalente a dimostrare che $ C'D $ e' perpendicolare a $ CD' $ (questo di vede struttando talete, dimpstrando per esempio che KM e' parallelo a C'D)., tracciamo il cerchio passante per M con raggio MC e allo stesso modo il cerchio di raggio ND passante per N. Questi Passano entrambi per B. Consideriamo ora la seconda intersezione tra questi due cerchi, chiamiamola P; dimostro che entrambe le linee C'D e CD' passano per quel punto.

Ora devo andare, finisco stasera... ciau!
Maria

Ok, finisco...
Per costruzione di P, gli angoli$ \angle CPC' $ e $ \angle DPD' $ sono retti. Basta quindi dimostrare che l'angolo $ \angle CPD $ e' retto e si ha la tesi, perche' P sarebbe l'intersezione delle due linee C'D e CD'. Ora, si hanno le seguenti relazioni (perche' M e N sono i centri delle circonferenze:):
$ \angle CPB= 180- \frac{\angle CMB}{2} $
and
$ \angle DPB= 180- \frac{\angle DNB}{2} $.
Ma si ha anche che (ciclicita' di MBAN):
$ \frac{\angle CMB+ \angle DNB}{2}= \frac {180 - \angle CAB + 180 - \angle DAB }{2}= 180 $, da cui $ \angle CPB +\angle DPB=90 $.
SGopn!