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NON PER ESPERTI MA NON IMBIANCATE

Sia $ $ n>1 \land n \in \mathbb{N} $ e siano $ $ d_1,d_2,\dots,d_k $ i suoi divisori. Si provi che
$ $ d_1d_2d_3 \dots d_k=\sqrt{n^k} $

Allora, se $ $n$ $ non è un quadrato perfetto, ogni suo divisore $ $c$ $ può essere accoppiato in maniera unica con un altro divisore $ $d$ $ (distinto per l'ipotesi) tale che $ $cd=n$ $. Da questo si deduce che $ $k$ $ è pari, quindi, accoppiando i divisori, $ $d_1 d_2 ... d_k =n^{k/2}$ $, il che dimostra la tesi.
Se invece $ $n$ $ è un quadrato perfetto, $ $k$ $ è dispari, perchè il fattore $ $\sqrt{n}$ $ compare una volta sola. Così, accoppiando ancora i divisori, $ $d_1 d_2 ... d_k = \sqrt{n} \cdot n^{(k-1)/2}= n^{k/2}$ $, qed.

E' sufficiente dimostrare che, se p è primo e $ \alpha = v_p(n) $, allora $ \displaystyle v_p(d_1 d_2 \ldots d_k) = \frac{\alpha k}{2} $. Questo è banale, pur di riconoscere che $ \displaystyle v_p(d_1 d_2 \ldots d_k) = \sum_{j=1}^\alpha j \cdot \tau(n\cdot p^{-\alpha}) $ $ \displaystyle = \frac{\alpha(\alpha+1)}{2} \cdot \tau(n\cdot p^{-\alpha}) = \frac{\alpha}{2} \tau(p^\alpha) \tau(n\cdot p^{-\alpha}) = \frac{\alpha k}{2} $. Qui $ \tau $ indica il numero dei divisori interi positivi del suo argomento.

Sia $ n=\prod p_i^{\alpha_i} $

Sia d(n) il numero di divisori di n.

Il numero di divisori $ d_j $ t.c. $ v_p_i(d_j)=s $ (con $ 0\leq s \leq \alpha_i $ ) è $ d(\frac{n}{p_i^{\alpha_i}}) $
Infatti essi sono in corrispondenza biunivoca con i divisori d di n t.c. $ v_p_i(d)=0 $ che sono $ d(\frac{n}{p_i^{\apha_i}}) $ .
$ V_p_i(\prod d_i) $= $ \sum v_p_i(d_i) $= $ 0 d(\frac{n}{p_i^{\alpha_i}})+1 d(\frac{n}{p_i^{\alpha_i}})+..+\alpha d(\frac{n}{p_i^{\alpha_i}}) $= $ \frac{(\alpha)(\alpha+1)}{2} d(\frac{n}{p_i^{\alpha_i}}) $= $ \frac{d(n)}{2}\alpha_i $.

Quindi $ \prod d_i=\prod p_i^{ \frac{d(n)}{2}\alpha_i }=RHS $

Arg..Hit mi ha preceduto..

Boll ha scritto: Sia $ $ n>1 \land n \in \mathbb{N} $ e siano $ $ d_1,d_2,\dots,d_k $ i suoi divisori. Si provi che $ $ d_1d_2d_3 \dots d_k=\sqrt{n^k} $

Naturalmente, anche n = 1 va bene, per cui... Perché ghettizzarlo?