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In un problema precedente (link) abbiamo dimostrato che il triangolo avente per vertici i piedi delle altezze di ABC ha perimetro minimo possibile tra tutti i triangoli che hanno i vertici sui lati di ABC.
(ABC si suppone sempre acutangolo)

Ma c'è qualcosa di più interessante: il perimetro di ABC sta al perimetro del suo "triangolo delle altezze" come il circoraggio di ABC sta all'inraggio di ABC. Dimostrate questo.

Domanda bonus: usando il risultato precedente, calcolate l'area del triangolo che ha per vertici gli ex-centri di ABC.

Chiamo $ ABC $ il triangolo e $ A',B',C' $ i piedi. E' ben noto, e facilmente dimostrabile, che il quadrilatero $ ABA'B' $ è ciclico e di circoraggio $ $ \frac{c}{2} $. Quindi calcolando $ A'B' $ con il teorema della corda avremo $ $ A'B'=2\cdot \frac{c}{2}\sin{\left(\alpha+\beta-\frac{\pi}{2}\right)}=c\cdot \cos\gamma $

Quindi dobbiamo provare che
$ $ \frac{a+b+c}{a\cdot \cos\alpha+b\cdot \cos\beta+c\cdot \cos\gamma}=\frac{R}{r} $

$ r(a+b+c)=R(a\cdot \cos\alpha+b\cdot \cos\beta+c\cdot \cos\gamma) $

$ R(a\cdot \cos\alpha+b\cdot \cos\beta+c\cdot \cos\gamma)=2S $

Prendiamo il circocentro $ O $ e il triangolo $ OAB $, calcolando la sua area rispetto all'angolo $ \angle OBR $ e ai due lati adiacenti avremo $ $ [OAB]=\frac{1}{2}\cdot c\cdot R\cos\gamma $ quindi $ $ [ABC]=[OAB]+[OAC]+[OBC]=\frac{R}{2}(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma) $

Quindi la nostra tesi altro non è che $ 2S=2S $ che è ovviamente vera.

per il bonus, chiamiamo R e r circocercio ed incerchio di ABC e chiamiamoT e t circocerchio ed incerchio di XYZ cioè il triangolo degli excentri di ABC... inoltre q è il semiperimetro di XYZ e p il semiperimetro di ABC

a questo punto osserviamo banalmente che ABC è il triangolo delle altezze di XYZ. quindi si ha che

$ \displaystyle \frac{q}{p}=\frac{T}{t}\ \Rightarrow\ qt=2S_{XYZ}=pT=2S_{ABC}\cdot \frac{T}{r} $

quindi $ \displaystyel\frac{S_{XYZ}}{S_{ABC}}=\frac{T}{r} $

ma poiché il circOerchio di ABC è la circonferenza di Feuerbach di XYZ
==> T=2R
quindi

$ \displaystyle S_{XYZ}=2S_{ABC}\cdot\frac{R}{r}=\frac{abc}{2r} $

ciaociao
SGOPN