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Sto cercando di capire come ricavare la formula del momento d'inerzia per i diversi solidi (cilindro, asta, asse sfera). Non so come sfruttare la definizione $ I = \displaystyle{\int\ r^2dm} $.

No guarda che hai sbagliato il differenziale che è dr, dm è giusto solo se al suo posto sostituisci l'equazione che mette in relazione l'infinitesimo di massa con la distanza dal centro di rotazione.
Es. cilindro
$ \displaystyle dm=\rho h 2\pi r dr $ dove i primi due simboli sono la densità del materiale supposta uniforme e lo spessore del cilindro anch'esso uniforme.
$ \displaystyle I=\int_0^R{dmr^2dr}=\int_0^R{2\pi \rho h r^3dr}=\frac{2\pi\rho h r^4}{4}=\frac{MR^2}{2} $
Utto chiaro?
ciao, Diego.

NEONEO ha scritto:No guarda che hai sbagliato il differenziale che è dr, dm è giusto solo se al suo posto sostituisci l'equazione che mette in relazione l'infinitesimo di massa con la distanza dal centro di rotazione.

Beh, la definizione di sqrt2 è giusta ed è generale (ricordati che il corpo non sempre è omogeneo....)
Quello che dici tu, ossia scrivere dm in funzione di dr è solo un modo per calcolare quell'integrale, che rimane giusto anche con il 'dm'.

NEONEO ha scritto:Es. cilindro
$ \displaystyle dm=\rho h 2\pi r $

Intendi $ dm=\rho h 2\pi r \ dr $, vero ?

Per il resto l'esempio è giusto.

Ciao
mates

Si scusa ho corretto....

Caro compaesano, sto studiando anche io lo stesso argomento... in generale non esiste un metodo per risolvere quell'integrale, ma solo casi più o meno semplici
Ti do alcune indicazioni generali: il guscio sferico ha r costante per cui lo puoi tirare fuori dall'integrale; la sfera la ottieni per sovrapposizione di gusci sferici; l'anello con il raggio costante, il disco per somma di anelli concentrici, il cilindro per sovrapposizione di anelli e così via...