OliForum Matematico

Propongo questa curiosità sulle curve asintotiche, anche se magari è già nota…
Risulta abbastanza utile nello studio di funzione, anche se si applica in casi particolari…
Fatemi sapere cosa ne pensate…

Data una funzione $ y=f(x)=g(x)/h(x) $ avente le seguenti caratteristiche:
a) g(x) e h(x) sono due funzioni algebriche razionali intere (chiamalo poco!!);
b) il grado di g(x) supera almeno di 1 il grado di h(x);

si dimostra che, detti
a) q(x) la parte intera del quoziente g(x)/h(x) (che si ottiene facilmente mediante l’algoritmo di divisione tra polinomi);
b) r(x) il resto di tale divisione;

la funzione y=q(x) rappresenta una curva asintotica alla curva y=f(x) qualunque sia r(x) diverso da zero.


DIMOSTRAZIONE:
Si ha, per le definizioni stesse di quoziente, divisione e resto, la seguente uguaglianza:
$ y=f(x)=q(x)+r(x)/h(x) $
Si noti ora che al tendere di x all’infinito tutte le funzioni, considerate singolarmente, tendono all’infinito. E’ altresì vero che il grado di r(x) è sempre inferiore a quello di h(x) per le ipotesi fatte. Quando x tende all’infinito, r(x) rappresenta un infinito di ordine inferiore rispetto a h(x) e dunque il rapporto $ r(x)/h(x) $ tende a zero. Conseguentemente al tendere di x all’infinito si ha un’identità di “comportamento” delle due funzioni y=f(x) e y=q(x), che sono dunque asintotiche (c.v.d.).


ESEMPIO:
Sia
$ g(x)=x^3+x-6 $;
$ h(x)=x-2 $;
e dunque $ f(x)=(x^3+x-6)/(x-2) $
Elaborando i calcoli per la divisione tra polinomi si ottiene
$ q(x)=x^2+2x $;
$ r(x)=5x-6 $;
la funzione $ y=x^2+2x $ rappresenta una parabola asintotica alla curva $ y=(x^3+x-6)/(x-2) $.


CONCLUSIONE:
Oltre che alla verifica manuale (ad esempio ponendo a sistema le due equazioni) si può “visualizzare” la cosa con un programma per lo studio grafico di funzione (es. Derive o altri).
La cosa è interessante quando il grado di g(x) e quello di h(x) differiscono di 1: in tal caso infatti y=q(x) è una retta, dunque un asintoto obliquo vero e proprio.
Attendo vostre notizie!!…

I was exceedingly interested by your thread and by the theorem which you state. You will however understand that, before I can judge properly of the value of what you have done, it is essential that I should see proofs of some of your assertions. Your results seem to me to fall into roughly three classes:
(1) there are a number of results that are already known, or easily deducible from known theorems;
(2) there are results which, so far as I know, are new and interesting, but interesting rather from their curiosity and apparent difficulty than their importance;
(3) there are results which appear to be obvious and badly justified...

Mah ... non so quanto uso se ne faccia in "analisi funzionale" (qualunque cosa tu intenda con ciò ...) ma onestamente, mi sembra abbastanza ovvio che se $ f(x)=g(x)+h(x) $, $ h(x)=o(1)\quad x\to x_0 $
e $ \displaystyle{\lim_{x\to x_0}g(x)\neq 0} $, allora $ f\equiv g \quad x\to x_0 $.
E quindi ad esempio la funzione $ \dfrac{xe^x+\sin(x)}{x+\sin x} $ è asintotica a $ e^x $ per x che tende all'infinito.


(ciao gente... ci si risente a fine agosto)

(EG from holidays)

Con "analisi funzionale" non intende l'analisi funzionale, ma lo studio di funzioni.