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$ \displaystyle S_1= \sum _{i=1} ^ {+\infty} \frac 1{i^2(i+1)^2} $
$ \displaystyle S_2= \sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{i^3(i+1)^3} $
$ \displaystyle S_3= \sum_{i=1} ^ {+\infty} \frac 1 { i^2(i+1)^2(i+3)^2} $

Trovare $ S_1 , S_2, S_3 $

1) Decomponendo in fratti semplici si può scrivere:

$ \displaystyle S_1=\sum_{i=1}^{+\infty}{\frac{1}{i^2}}+\sum_{i=1}^{+\infty}{\frac{1}{(1+i)^2}-2\sum_{i=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}\right)} $

Sfruttando la nota sommatoria:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty}{\frac{1}{i^2}}=\frac{\pi^2}{6} $

e osservando che l'ultima sommatoria è telescopica di somma 1 si ottiene:

$ \displaystyle S_1=\frac{\pi^2}{6}+\left(\frac{\pi^2}{6}-1 \right)-2\cdot1=\frac{\pi^2}{3}-3 $