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Siano $ a, b \in \mathbb{R} $ tali che $ a \ne b $ e $ \displaystyle \frac{a^n - b^n}{a-b} $ è intero, per ogni $ n \in \mathbb{N} $. Come osservato più oltre da Simo_the_Wolf, a+b e ab sono di fatto degli interi. Assumendo perciò gcd(a+b,ab) = 1, dimostrare che $ \displaystyle\gcd\!\left(\frac{a^m - b^m}{a-b}, \frac{a^n - b^n}{a-b}\right) = \frac{a^{\gcd(m,n)} - b^{\gcd(m,n)}}{a-b} $, se $ m, n \in \mathbb{N} $.

Direi di aggiungere $ (a,b)=1 $...

Simo_the_wolf ha scritto:Direi di aggiungere $ (a,b)=1 $...

...direi che non avrebbe alcun senso. Ci manca in effetti una condizione, ma è ben diversa da quella che mi suggerisci. Mo' edito!

scusa avevo frainteso il problema...

Scusa, non avevo visto che erano in R... Classico di me... Leggere la metà di ciò che è scritto e presupporre il resto! :D

Credo serva ancora una ipotesi e cioè che $ gcd(a+b , ab) =1 $ altrimenti posso prendere i numeri $ ka $ e $ kb $ con $ k $ numero intero dimodochè la nostra uguaglianza non venga soddisfatta.

Dicendo $ f_n= \frac {a^n-b^n}{a-b} $ si vede facilmente che $ f_{n+2}= (a+b)f_{n+1} - ab f_n $.

Qui $ a+b=f_2 $ e $ ab=f_2^2-f_3 $ e quindi sono entrambi interi.

Parte 1
Voglio dimostrare che
a) $ gcd(f_n, ab )=1 $
b) $ gcd(f_n, f_{n+1})=1 $

1) Dimostriamolo per induzione: $ (f_1,ab)=(f_2,ab)=(a+b,ab)=1 $ per ipotesi quindi da $ f_{n+2}= (a+b)f_{n+1} - ab f_n $ abbiamo che se $ (f_{n+1},ab)=1 $ allora $ (f_{n+2},ab)=1 $.

2) Sempre per induzione abbiamo che $ (f_1,f_2)=(1,a+b)=1 $ e poi da $ f_{n+2}= (a+b)f_{n+1} - ab f_n $ otteniamo che $ (f_{n+2},f_{n+1}) | ab f_n $. Ma sappiamo che $ (f_{n+1} , ab f_n)| (f_{n+1},ab)(f_{n+1},f_n) = 1^2 =1 $ quindi la tesi.

Parte 2

Procedendo per induzione si può dire che:

$ f_{n+k} = f_{n+1}f_k - ab f_n f_{k-1} $

Da qui otteniamo $ (f_{n+k},f_n)| f_kf_{n+1} $ ma noi sappiamo che $ (f_n , f_{n+1})=1 $ e quindi abbiamo che $ (f_{n+k}, f_n)|f_k $

Sempre per induzione usando la formula di prima possiamo dire che se $ d|n $ allora $ f_d|f_n $.

Ora lascio a voi dimostrare che se:

(i) $ gcd(f_{n+k} , f_n)| f_k $
(ii) $ d|n $ implica $ f_d|f_n $

allora $ gcd(f_n,f_m) = f_{gcd(m,n)} $.

In fondo è un po' come l'algoritmo di Euclide per il gcd fra due numeri interi.

Ciauz!

Assumo questo o quello e non me ne rendo neanche conto - sto proprio alla frutta... :° Sì, Simo_the_Wolf, è tutto perfetto! Per di più, assumendo gcd(a+b,ab) = 1, posto di aver riconosciuto che a+b e ab sono entrambi in Z, non è nemmeno necessario ammettere che a, b non siano interi. Così la generalizzazione del lemma di Knuth è veramente completa! Edito subito!!!