OliForum Matematico

La citazione letteraria mi è venuta così, non ci fate caso...

Abbiamo una porzione di piano orizzontale delimitata da due pareti perpendicolari lunghe all'infinito che si incontrano nel punto $ O $ (in pratica la zona ammessa è un angolo di 90° nel piano). Una particella di massa $ m $ e carica (in valore assoluto) $ q $ è libera di muovercisi sopra, e parte con velocità $ v_0 $ da un punto di una parete a distanza $ d $ dal punto $ O $, con direzione perpendicolare alla parete stessa. Nel punto $ O $ è presente una carica fissa $ Q $ (in valore assoluto). I rimbalzi della particella mobile contro le pareti sono elastici. La costante dielettrica dell'ambiente è $ \varepsilon $. I segni delle cariche sono opposti.

Parte a)

Determinare completamente, in funzione dei dati, il tipo di traiettoria della particella e le sue caratteristiche notevoli.
Descrivere inoltre, sommariamente, come variano la velocità e la posizione della particella.
E' possibile che la situazione di partenza si ripresenti?

Parte b)

Sia ora $ v_0=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4})\cdot \sqrt \frac{Qq}{4\pi \varepsilon md} $.
Quanto tempo intercorre tra l'istante in cui l'energia potenziale ha un massimo e quello in cui l'energia cinetica ha un massimo?
Quanto vale la distanza tra i punti che la particella occupa nei due detti istanti?
Tale distanza ammette massimo al variare di $ v_0 $?
Tracciata una semiretta contenuta nell'angolo di vertice $ O $, inclinata di $ \theta $ gradi (con $ \theta \in N \wedge 0\leq \theta \leq 90 $; i valori sono tutti equiprobabili) rispetto ad una delle pareti, determinare la probabilità $ p(n) $ che essa intersechi la traiettoria della particella esattamente $ n $ volte.

Saluti ai canadesi, ciao a tutti

Salve, oh mio maestro.

Tento di risolvere la parte A del problema, anche se non ho ben capito cosa vuoi sapere in particolare.

allora, il quesito mi sembra mooolto gravitazionale e quindi penso (spero) che date le somiglianze fra forza di newton e forza di coulomb posso ragionare in base all'energia totale E posseduta dalla particella.

Si ha

$ \displaystyle E_{tot}=K+U=\frac 12 m v^2-\frac1{4\pi \varepsilon} \frac {qQ}d $

dove le cariche $ q,Q $ si intendono in valore assoluto.

quindi
se E>0 ---> la particella descrive un ramo di iperbole, urtando una volta una delle due pareti
se E=0 ---> la particella descrive un arco di parabola, sempre urtando una sola volta una delle due pareti
se E<0> la particella descrive un arco di ellisse, compiendo un moto periodico. In sostanza prosegue il suo ellisse "riflettendosi" sulla parete. Lo so che non è chiaro, ma con un disegnino davanti sarebbe molto più facile spiegarlo. Solo in quest'ultimo caso si riproporrà la situazione di partenza.

Allora per il secondo punto...

sappiamo che $ v_0 $ è o nel punto più lontano o in quello più vicino dell'orbita.

Chiamando $ v_1 $ e $ d_1 $ la velocità e la distanza nell'altro punto avremo per conservazione dell'energia e conservazione del momento angolare:

$ E= \displaystyle \frac 12 m v_0 ^2 - \frac { Qq }{ 4 \pi \epsilon d_0} = \frac 12 m v_1 ^2 - \frac { Qq }{ 4 \pi \epsilon d_1} $
$ d_0v_0 = d_1v_1 $.

Svolgendo il sistema troviamo delle cose interessanti:

(i) $ mv_0v_1 = - 2E $
(ii) $ mv_0v_1d_0d_1=m(v_0d_0)^2 = \frac {Qq d_0d_1}{2 \pi \epsilon (d_1+d_0)} $
(iii) $ \frac { \pi ^3 (d_0+d_1)^3 } {T^2} = \frac { Qq} {2 \epsilon} $

Dalla 3 ci ricaviamo il tempo (che sarà $ T/2 $) poi dalla 2 (osservando il primo e il terzo membro e usando la 1) otteniamo che $ d_0 + d_1 = -\frac {Qq} { 4 \pi \epsilon E } $ e quindi quando $ E $ tende a 0 avremo che la differenza $ d_1- d_0 $ tenderà ad infinito.

L'ultima domanda ammetto di non averla capita...

ciao bacco, questo problema è un pò adattato da uno di quelli della normale eh?

cmq per quanto riguarda il moto periodico (ripetizione della situazione di partenza), la traiettoria è sì un'ellisse, ma una in particolare, cioè una circonferenza. questo si capisce pensando che quando l'urto è elastico, se la velocità di stacco è pari a quella d'urto in modulo verso e direzione, allora il cammino fatto prima dell'urto verrà ripercorso all'indietro per simmetria. quindi nel caso di moto periodico tutti gli urti devono essere perpendicolari alle pareti. ora poichè la forza è sempre diretta verso il punto d'incontro delle pareti, l'unica traiettoria possibile è una circonferenza. un ellisse infatti sarebbe perpendicolare ad una parete ma non all'altra, in quanto il punto d'incontro delle pareti sarebbe un fuoco dell'ellisse e non il centro.

il terzo punto è tosto, sì

Uhm no edelion, può essere benissimo un'ellisse, il rimbalzo sulla seconda parete non deve essere per forza perpendicolare e come ha detto what, essendo un rimbalzo perfettamente elastico si può pensare a come se non ci fosse la parete e la traiettoria fosse riflessa. Spero di essermi spiegato bene.

Bacco, puoi spegare per favore la terza domanda perchè a me pare p(2)=1 e p(n)=0 in tutti gli altri casi.

Ok simone, il metodo è ok... si anche il fatto della probabilità in pratica è ok, tranne che devi considerare che se tracci la semiretta con theta = 90° è coincidente con la parete lontana dal punto di partenza e quindi n=1 perchè l'ellisse è simmetrica rispetto all'asse maggiore. Visto che ci sono gli uguali alla disuguaglianza, p(2)=90/91, p(1)=1/91, gli altri n p(n)=0.

Ciao!

In pratica il problema, nonostante sulle prime potesse spaventare, era basato su idee abbastanza facili... è bellino il fatto che funziona non solo con un angolo di 90° tra le pareti...

sì hai ragione simo, anzi mi scuso dell'errore banale. è che avevo coniderato solo moti periodici ogni due rimbalzi e non mi ero posto il problema di moti periodici su più rimbalzi. ovviamente anche l'ellisse è giusta.

bel problema cmq