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Consideriamo tutti i numeri interi compresi tra 1 e 100 (estremi inclusi). Dimostrare che, comunque se ne scelgano 70, ne esistono due di cui uno il doppio dell'altro.

Per k dispari definisco $ I_k =\{1,\dots,100\} \cap \{k,2k,\dots,2^i k,\dots \} $
In questo modo “classifico” tutti i numeri da 1 a 100 in uno e uno solo insieme $ I_k $.
So che:
$ |I_k|=1 $per $ 100>k>50 $
$ |I_k|=2 $ per $ 50>k>26 $
$ |I_k|=3 $per $ 26>k>12 $
$ |I_k|=4 $ per $ 12>k>6 $
$ |I_k|=5 $per $ 6>k>4 $
$ |I_k|=6 $ per $ 4>k>2 $
$ |I_k|=7 $per $ 2>k>0 $

Inoltre è facile verificare che fissato k, posso scegliere al massimo $ [\frac{|I_k|+1}{2}] $ elementi di $ I_k $ senza scegliere un numero e il suo doppio.
Inoltre per come sono definiti gli insiemi il doppio di un numero A (se A<51) è presente solo nello stesso insieme di A ed è adiacente ad esso.
E’ facile concludere che il numero massimo di numeri che posso scegliere senza scegliere un numero e il suo doppio è:
$ \sum_{k=1}^{99}[\frac{|I_k|+1}{2}]=25+12+2(10)+3(2)+4=67 $
Dove la sommatoria è estesa solo ai k dispari.
Da ciò segue facilmente la tesi.

Esercizio fighissimo Piera!!

Se gli admin me lo permettono (altrimenti se spezzano il tread non mi offendo di certo ) rilancio con un problema abbastanza simile:

Nei 35 giorni che hanno preceduto uno stage un partecipante si `e allenato secondo il seguente pregramma: ogni giorno ha lavorato un numero intero di ore, maggiore od uguale a 1, ed in tutto ha lavorato un numero di ore minore od uguale di 60.
Dimostrare che esiste un gruppo di giorni consecutivi in cui ha lavorato in totale per 13 ore.