OliForum Matematico

Detreminare la più grande costante $ M $ tale che:

$ \left(a+b+c+d\right)^{2} \geq M \left(ab+bc+cd\right) $

qualunque siano i numeri reali maggiori o uguali a zero a,b,c,d.
Per tale valore di $ M $, determinare i numeri a,b,c,d per i quali si ottiene un'uguaglianza.
Determinare se e come cambia la risposta al punto precedente se a,b,c,d sono numeri reali qualunque.

la soluzione di questo quesito si trova su internet, però non mi ricordo bene il sito.

Innanzitutto, cancello il doppione.

Inoltre, la soluzione di molti dei quesiti che propongono gli utenti di questo forum appare qui o là su internet; lo scopo del proporre non è semplicemente avere la soluzione, ma a volte è condividere con gli altri un problema che è sembrato stimolante, bello, divertente o istruttivo, per qualche motivo.

Colgo l'occasione per ricordare a tutti che non è gentile nè produttivo postare, come prima risposta ad un problema, il link a un sito che ne offre la soluzione, a meno che il problema in oggetto non sia rimasto a lungo irrisolto e il propositore non ne abbia la soluzione, oppure a meno che il problema non sia già stato affrontato di recente su questo stesso forum.

Per il caso M=4 il tutto è equivalente a:
$ (a-b+c-d)^2 + 4 ad \ge 0 $
che è verificata per tutti gli a,b,c,d positivi e ha uguaglianza se a=d=0 e b=c.

Se ad M metto un numero maggiore di 4 trovo che la RHS ha valore maggiore del minimo della LHS, quindi non può essere.
Invece un valore di M minore di 4 dà un risultato corretto.

Per cui è verificata per M < 4.

Per il caso di reali anche negativi, mettete a=b=-c=-d e trovate M<0>=0, quindi M=0.
La formula generale è (a-b+c-d)^2 +(4-M)(ab+bc+cd) +4ad>=0
Se mettete M=4 si ottiene il caso di Bh3

ma se $ a=b=c=d $, $ M $ può essere $ \frac{16}{3} > 4 $

Detrminare la costante M tale che, per OGNI a,b,c,d reali positivi, [...]

No Gauss, non funziona così. Se usi un caso particolare è logico che M possa essere grande quanto vuoi: il fatto è che devi trovare M in modo tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi a,b,c,d.

Puoi facilmente trovare non solo che M<=16/3 ma che M<=4 e poi dimostrare che per M=4 la disuguaglianza è soddisfatta per qualsiasi quadrupla di reali positivi.

bh3u4m ha scritto:Per il caso M=4 il tutto è equivalente a:
$ (a-b+c-d)^2 + 4 ad \ge 0 $
che è verificata per tutti gli a,b,c,d positivi e ha uguaglianza se a=d=0 e b=c.

Potresti spiegarla?

Fai i calcoli e porta tutto al primo membro, poi svolgi la mia che ho scritto e ti accorgi che sono uguali.....

Ok si trova!

NEONEO ha scritto:No Gauss, non funziona così. Se usi un caso particolare è logico che M possa essere grande quanto vuoi: il fatto è che devi trovare M in modo tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi a,b,c,d.

si ok non avevo letto per bene il testo

Scusate, sono nuovo del forum. So di essere in (pesante) ritardo ma non capisco una cosa: il fatto che m=4 si trova come condizione svolgendo la disequazione iniziale o bisogna "vederlo"? Perchè io avevo fatto così:

a^2+b^2+c^2+d^2+ (2-m)ab+2ac+2ad+ (2-m)bc+2bd+ (2-m)cd >= 0

Quindi mi era venuto in mente di porre m>=2, perchè altrimenti per opportuni valori si trovano controesempi (appaiono alcuni termini negativi infatti).

Però non ho idea di come si possa migliorare il risultato.

Spero di essere stato chiaro...