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Buonasera sono nuovo del forum, ho iniziato lo studio dell'Algebra con il libro "Elementi di Algebra" Franciosi - DeGiovanni (con relativo eserciziario).
Posto qui due esercizi. Il secondo credo di averlo risolto e scrivo la dimostrazione. Del primo vorrei un indicazione su come partire dato che non sono riuscito a capire come dimostrarlo. Grazie

1.1.1
Siano $ S, T $ insiemi. Provare che risulta $ S = T \Leftrightarrow \exists $ un insieme $ V : S \cap V = T \cap V $ e $ S \cup V = T \cup V $.

1.1.2
Siano $ S, T $ insiemi. Provare che risulta $ (S \cup T) \cap V = S \cup (T \cap V) \Leftrightarrow S \subseteq V $.

Dimostrazione:
Ipotesi: $ (S \cup T) \cap V = S \cup (T \cap V) $
Tesi: $ S \subseteq V $
Sia $ x \in S \Rightarrow x \in (S \cup T) \Rightarrow x \in (S \cup T) \cap V \Rightarrow x \in V $.

Ipotesi: $ S \subseteq V $.
Tesi: $ (S \cup T) \cap V = S \cup (T \cap V) $
Premessa: $ S \subseteq V \Leftrightarrow S \cap V = S $
Sia $ x \in (S \cup T) \cap V \Leftrightarrow $ per la proprietà distribuitiva dell'intersezione rispetto all'unione abbiamo che $ x \in (S \cap V) \cup (T \cap V) \Leftrightarrow $ per la premessa abbiamo che $ x \in S \cup (T \cap V) $. Per cui la Tesi è dimostrata.

Galileo ha scritto: 1.1.2
Siano $ S, T $ insiemi. Provare che risulta $ (S \cup T) \cap V = S \cup (T \cap V) \Leftrightarrow S \subseteq V $.

Dimostrazione:
Ipotesi: $ (S \cup T) \cap V = S \cup (T \cap V) $
Tesi: $ S \subseteq V $
Sia $ x \in S \Rightarrow x \in (S \cup T) \Rightarrow x \in (S \cup T) \cap V \Rightarrow x \in V $.

Credo che questa parte sia sbagliata in quanto $ x \in (S \cup T) $ non assicura che $ x \in S $. Credo che avrò bisogno di qualche aggiustamento anche in questa parte

OMFG..

Problema 1.1.1:
La freccia $ \Rightarrow $ è banale, $ V $ può essere un qualsiasi insieme.
L'altra freccia: $ x\in S \Rightarrow (x\in S \wedge x\in V) \vee (x\in S \wedge x\not \in V) $.
$ x\in S \wedge x\in V \Rightarrow x\in S\cap V \Rightarrow x\in T\cap V \Rightarrow x\in T $.
Ma anche $ x\in S \wedge x\not \in V \Rightarrow x\in S\cup V \wedge x\not \in V \Rightarrow x\in T\cup V \wedge x\not \in V \Rightarrow x\in T $.
Che $ T\subseteq S $ si dimostra ripetendo quanto sopra con $ S $ e $ T $ scambiati.

Problema 1.1.2:
La freccia $ \Leftarrow $ l'hai fatta nel modo giusto.
L'altra: $ x\in S \Rightarrow x\in S\cup (T\cap V) \Rightarrow x\in (S\cup T)\cap V \Rightarrow x\in V $.

Ti ringrazio per l'aiuto, non riuscivo a venirne fuori anche se l'esercizio per voi sarà molto molto banale mi ha messo in difficoltà però sono all'inizio speriamo bene nei prossimi esercizi. (Tornerò )
Grazie ancora.