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$ 4^n+2^n+1 $ è primo. Allora $ n $ è una potenza di $ 3 $.

Basta osservare che, se p è primo, allora $ \sum_{k=0}^{p-1} x^k $ divide $ \sum_{k=0}^{p-1} x^{qk} $, ogni volta che $ \gcd(p,q) = 1 $. Il tuo problema riguarda il caso p = 3.

Dimostrazione.
Il polinomio $ \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} x^k = \frac{x^p-1}{x-1} $ ha per radici tutte e sole le radici complesse dell'unità diverse da 1.
Sia $ \omega $ una di queste.
Ora, se (q,p)=1, allora $ \{qk\} (0 \le k \le p-1) $ è una classe completa di resti modulo p.
Quindi $ \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} \omega^{qk} = \sum_{k=0}^{p-1} \omega^k = 0 $, è il secondo polinomio è divisibile per il primo.