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Una certa quantità, Q, che può assumere valori sia positivi sia negativi, a intervalli regolari di tempo si incrementa di una unità con probabilità 1/4, si decrementa di una unità con probabilità 1/4 o resta invariata con probabilità 2/4. Supponendo che Q sia inizialmente nulla, si determini una formula per la probabilità $ P_{n,k} $ che dopo n intervalli di tempo Q valga k unità (quindi $ P_{1,-1} = P_{1,1} = 1/4, P_{1,0}= 2/4 $).

Prendi il triangolo di Tartaglia, ci si accorge che il percorso indicato è tale che prenda solo le righe pari del triangolo. Lo si può facilmente dimostrare osservando i percorsi fra le due righe.

innanzitutto non è chiaro ciò che vuoi dire, in secondo luogo il triangolo di tartaglia aumenta di 1 elemento per ogni riga mentre i numeri che puoi ottenere con Q aumentano di 2 elementi per ogni riga, quindi temo sia sbagliato.

scusami, risolvendo l'esercizio ho capito cosa volevi dire, Provo a spiegarlo meglio;
la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N . ovviamente chi conosce il binomio di newton può esprimere il risultato in maniera molto più elegante.

$ \frac 1{4^n} \binom {2n}{n+1} $

Ciao HomoPatavinus!

la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N .

Ti posso chiedere come hai fatto a dimostrarlo?

Ciao a tutti,

mi potreste dire come si scrivono delle formule nel forum? Perchè ho una formula con il carattere "landa" e frazione e non so come scriverlo qui nel forum.

Grazie.

OT terribile, ma comunuque.. per altre informazioni vai su 'LaTeX questo sconosciuto'

Davvero mi interessa capire come si arriva alla formula di Simo
c'è qualche anima pia che me lo spiega?
grazie

tra l'altro a breve devo fare l'esame di Statistica...

Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
Ora, chiamiamo $ P'_{n,k} $ la probabilità che Q' valga k al tempo n.
Di certo, poichè n+k è due volte il numero degli incrementi positivi, n e k devono avere la stessa parità, altrimenti non è possibile che Q' valga k al tempo n. Inoltre, il sistema
$ p_++p_-=n $
$ p_+-p_-=k $
ha una sola soluzione per $ p_+,p_- $:
$ p_+=\dfrac{n+k}2 $$ p_-=\dfrac{n-k}2 $
Se questi due numeri sono interi, possiamo dire che la probabilità voluta è
$ P'_{n,k}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n+k}2}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n-k}2} $
in quanto basta scegliere in quali degli n istanti di tempo fare un passo avanti (o indietro) e nei restanti siamo obbligati a farlo nell'altra direzione.

Ora, abbiamo detto che $ P_{n,k}=P'_{2n,2k} $ e dunque
$ P_{n,k}=\dfrac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} $

EvaristeG ha scritto: Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.

Scusami ma non capisco questo passaggio...

La probabilità che la quantità Q dopo due intervalli di tempo sia -2,-1,0,+1,+2 è (rispettivamente) 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 (a meno di cavolate).

Mi sembra di capire che tu assumi che dopo un doppio intervallo di tempo la quantità non possa essere nulla.

Potresti spiegarmi?

Semplicemente non hai capito cosa si raddoppia e cosa si dimezza.
La quantità che definisco io non guarda Q ogni 2 tempi, guarda Q ogni mezzo tempo.
Se tu consideri una quantità come quella che ho descritto io, dopo 2 unità di tempo, avrai 1/4 di probabilità che sia aumentata di 2, 1/4 di probabilità che sia diminuita di 2, 1/2 di probabilità che sia rimasta invariata.