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Buongiorno ragazzi!
Vorrei sapere se questa dimostrazione è corretta, dato che sul testo dove l’ho trovata propongono una soluzione un po’ complessa…

TESTO:
Si trovino tutte le funzioni $ f $ : da R ad R tali che per ogni polinomio di secondo grado $ p $ : da R ad R la funzione composta $ f(p(x)) $ è ancora un polinomio di secondo grado.

DIMOSTRAZIONE:
Se p(x) è polinomio di secondo grado allora $ p(x)=ax^2+bx+c $. Anche f(p(x)) è polinomio di secondo grado, e dunque $ f(p(x))=u[p(x)]^2+v[p(x)]+w $
Si nota che $ [p(x)]^2 $ è di quarto grado, e pertanto deve essere u=0.
I coefficienti $ v, w $ si possono invece scegliere a piacere, purchè $ v $ sia diverso da zero (altrimenti f è di primo grado). Chiamando $ t $ un generico polinomio di secondo grado, si ha $ f(t)= vt+w $ con $ v $ diverso da zero.

NOTA:
La tesi, cioè la funzione determinata, coincide con quella proposta dagli autori, solo la dimostrazione è meno articolata…però a me sembra che possa andare!
Poiché non sono un esperto di relazioni funzionali, gradirei ricevere un parere…GRAZIE!

uhm..
a dire il vero, tu hai dimostrato la seguente proposizione: trovare tutti i polinomi di secondo grado $ f $ tali che $ f\circ p $ sia ancora un polinomio di secondo grado per ogni polinomio di secondo grado $ p $, che è ben diversa...

alberto.ravagnani ha scritto:. Anche f(p(x)) è polinomio di secondo grado, e dunque $ f(p(x))=u[p(x)]^2+v[p(x)]+w $

Qui è l'errore : f(p(x)) deve essere un polinomio di II grado in x, non in p(x), in quanto l'ipotesi è che f(p(x)) sia un polinomio di II grado, ma non che f stessa lo sia.
Poichè f(p(x)) è un polinomio di II grado, potrai scrivere
$ f(p(x))=ux^2+vx+w $

prendiamo $ p(x)=x^2 $ e vediamo che $ f(x^2)=ax^2+bx+c $ ora essendo il LHS una funzione pari allora lo dovrà essere anche il RHS quindi $ b=0 $.

Quindi $ f(r)=ar+c $ per $ r \in R^+ $

cioè nei positivi $ f $ è una retta. Prendendo $ p(x)=-x^2 $ otteniamo che anche nei negativi $ f $ è una retta.

Prendendo poi $ p(x)=x^2-1 $ otteniamo che nell'intervallo $ [ -1 , +\infty ) $ $ f $ è una retta quindi $ f(x) $ è della forma $ ax+b $

alberto.ravagnani ha scritto: TESTO:
Si trovino tutte le funzioni $ f $ : da R ad R tali che per ogni polinomio di secondo grado $ p $ : da R ad R la funzione composta $ f(p(x)) $ è ancora un polinomio di secondo grado.

DIMOSTRAZIONE:

Dimostrazione di cosa ? devi trovare delle funzioni, mica dimostrare qualcosa!

Beh, devi dimostrare che le funzioni che trovi sono tutte e sole quelle richieste ...