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Quesito: L'anello $ C \times R $ ha divisori dello zero?

Risposta: NO. L'anello è formato dagli elementi $ (a, b) $, con $ a \in C $ e $ b \in R $. Un divisore dello zero è un elemento $ (c, d) $ tale che $ (a, b)(c, d) = (ac, bd) = (0,0) $, con $ a,b,c,d \not = 0 $. Notiamo subito che $ bd = 0 \Rightarrow b=0 $ o $ d=0 $, quindi l'anello non ha divisori dello zero.

È giusto il mio ragionamento?

Mauro

Se magari definissi anche a noi le operazioni di anello sull'insieme C x R, anziché obbligarci a ipotizzare quali possan essere, be'... Forse allora qualcuno potrebbe anche risponderti! Ti pare?

P.S.: C ed R, fra l'altro, cosa cacchio sono?

Mah, C saranno i complessi, R i reali, le operazioni quelle componente per componente.

mauro742 ha scritto:Quesito: L'anello $ C \times R $ ha divisori dello zero?

Risposta: NO. L'anello è formato dagli elementi $ (a, b) $, con $ a \in C $ e $ b \in R $. Un divisore dello zero è un elemento $ (c, d) $ tale che $ (a, b)(c, d) = (ac, bd) = (0,0) $, con $ a,b,c,d \not = 0 $. Notiamo subito che $ bd = 0 \Rightarrow b=0 $ o $ d=0 $, quindi l'anello non ha divisori dello zero.

EvaristeG ha scritto:Mah, C saranno i complessi, R i reali, le operazioni quelle componente per componente.

...in tal caso, temo che il nostro Mauro si sbagli malamente. Al posto suo, terrei sotto controllo le coppie (1,0) e (0,1), non prima tuttavia d'aver chiarito a me stesso la corretta definizione di un divisore dello zero in un anello.

Penso che sulla definizione di divisore dello zero non ci possano essere grosse ambiguità, quindi ...
$ a \in A $ (con A anello) si dice divisore dello zero (o zerodivisore) se esiste $ b\in A\setminus\{0\} $ tale che $ ab=0 $ .. se l'anello non è commutativo si distingue tra zerodivisori destri e sinistri, con l'ovvio significato.

EvaristeG ha scritto: $ a \in A $ (con A anello) si dice divisore dello zero (o zerodivisore) se esiste $ b\in A\setminus\{0\} $ tale che $ ab=0 $ .. se l'anello non è commutativo si distingue tra zerodivisori destri e sinistri, con l'ovvio significato.

...appunto!