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Siano $ \phi(\cdot) $ la funzione di Eulero e $ \pi(n) $ il numero dei primi naturali $ \le n $, per ogni $ n\in\mathbb{N}^+ $. Utilizzando unicamente risultati della teoria elementare dei numeri (e quindi, in particolare, evitando di coinvolgere ogni sorta di disuguaglianze per $ \pi(\cdot) $ derivate dalla teoria analitica), mostrare che definitivamente $ \phi(n) > \pi(n) $.

io aggiungerei qualche bound... infatti per n=4,36 si ha uguaglianza e per n=6,12,24,60,30 è reversed ad esempio.

Anzi ti dirò... Esistono infiniti $ n $ tali che $ \phi (n) < \pi (n) $...

Simo_the_wolf ha scritto:io aggiungerei qualche bound... infatti per n=4,36 si ha uguaglianza e per n=6,12,24,60,30 è reversed ad esempio.

Secondo te cosa significa che la disuguaglianza è verificata definitivamente!?

Simo_the_wolf ha scritto:Anzi ti dirò... Esistono infiniti $ n $ tali che $ \phi (n) < \pi (n) $...

Ah, davvero!? Strano, visto che non ci vuole nulla, per via analitica, a provare che definitivamente $ \displaystyle\pi(n) < \frac{3n}{2 \ln n} < \phi(n) $. Ma se ci dici che esistono infiniti n per cui la disuguaglianza è addirittura capovolta, be'... Immagino ci toccherà per forza crederti sulla parola, non è così?

Scusa sul fatto che sono infiniti ho sbagliato ma per definitivamente che intendi?

che da un certo n in poi è sempre vera

Molto interessante..