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devo calcolare la misura dell'insieme
$ z>0 $
$ x^2+y^2<z^2 $
$ x-2z+2>0 $
se passo in coordinate cilindriche ho
$ 0<\theta<2\pi,0<r<\frac{2}{2-cos\theta} $,$ r<z<\frac{rcos\theta+2}{2} $
secondo voi è giusto?

Hmm .. il cambio di coordinate per le cilindriche è (con asse z):
$ x=r\cos\theta\quad y=r\sin\theta\quad z=z $
Quindi le condizioni diventano
$ z>0 $
$ r^2\leq z^2\Rightarrow r\leq z $
$ r\cos\theta-2z+2>0 $

Cmq, si vede abbastanza facilmente che la parte di spazio delimitata da queste condizioni è un cono ellittico obliquo che (utilizzando ad esempio il principio di Cavalieri) ha volume
$ V=\dfrac{\pi abh}{3}=\dfrac{\pi 13\cdot4\cdot2\sqrt{5}}{3\cdot18\sqrt3\cdot3}=\pi\dfrac{52\sqrt{5}}{81\sqrt{3}} $
Dove h è l'altezza del cono (la distanza tra il piano x-2z+2=0 e l'orgine) e a,b sono i semiassi dell'ellisse di base (l'intersezione tra il piano x-2z+2=0 e il cono x^2+y^2=z^2).

Anch'io ho fatto come EvaristeG, però mi è venuto come volume $ V=\frac{16\pi}{9\sqrt{15}} $.

Il passaggio a coordinate cilindriche di Levy sembrerebbe giusto:
$ z>r>0 $
$ z<\frac{rcos\theta+2}{2} $
dovendo essere $ r<\frac{rcos\theta+2}{2} $ si ottiene
$ r<\frac{2}{2-cos\theta} $.
Inoltre queste relazioni sono soddisfatte per $ 0<\theta<2\pi $.
Ho scritto sembrerebbe perchè calcolando questo volume mi viene un valore diverso da quello trovato prima!

Hmm ovviamente, il mio risultato vale modulo errori di calcolo ... vediamo ...
Il piano x-2z+2=0 dista dall'origine $ h=\dfrac{2}{\sqrt{5}} $
Il piano x-2z+2=0 interseca il cono x^2+y^2-z^2=0 nella curva
$ x^2+y^2-\left(\dfrac{x+2}{2}\right)^2=0 $
ovvero
$ \dfrac{3}{4}x^2-x+y^2-1=0 $
cioè
$ \dfrac{3}{4}\left(x-\dfrac23\right)^2+y^2-1-\dfrac{1}{3}=0 $
dunque $ a^2=\dfrac{4}{3}\dfrac{4}{3} $
e $ b^2=\dfrac{4}{3} $, da cui
$ V=\dfrac{\pi abh}{3}=\pi \dfrac{2}{\sqrt{3}}\dfrac{4}{3}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{9\sqrt{15}}\pi $
Ecco, ora caccia all'errore.

ho capito grazie

Hmm, in effetti anche a me viene un valore diverso facendo l'integrale ... mi viene
$ \dfrac{16}{9\sqrt{15}}\dfrac{\sqrt{5}}2=\dfrac{8}{9\sqrt{3}} $
Se è lo stesso che viene a Piera, possiamo iniziare a preoccuparci...

Ora .... non vorrei infastidire i mostri sacri, ma a me pare che l'ellisse che Evariste ha trovato sia la proiezione dell'intersezione cono-piano sul piano x-y.
L'ellisse di base del cono è più grande.

ciao

Oh mamma ... l'unica scusa che ho è che ho fatto da cani le quadriche e le coniche a geometria I ...

E' vero : il piano x-2z+2=0 è inclinato rispetto al piano z=0 di un angolo che ha coseno $ 2/\sqrt{5} $ ed effettivamente l'ellisse che io voglio è l'intersezione del cilindro $ x^2+y^2-\left(\dfrac{x+2}2\right)^2=0 $ e del piano x-2z+2=0. Quella che ho calcolato è l'area dell'intersezione tra il cilindro e z=0, quindi ora devo moltiplicare per $ \sqrt{5}/2 $ per riportare l'area sul piano giusto. Quindi viene effettivamente
$ V=\dfrac{16}{9\sqrt{15}}\dfrac{\sqrt{5}}2=\dfrac{8}{9\sqrt{3}} $
come viene anche dal computo dell'integrale.

L'unica consolazione è che abbiamo sbagliato in 2 ...

EDIT : Gli errori non finiscono mai

EvaristeG ha scritto: $ V=\dfrac{16}{9\sqrt{5}}\dfrac{\sqrt{5}}2=\dfrac{8}{9\sqrt{3}} $

Mi sembra che il risultato finale non rispecchi la prima uguaglianza... Le due $ \displaystyle \sqrt{5} $ sembra debbano semplificarsi e invece rimane un $ \displaystyle \sqrt{3} $ a denominatore...
Non è che doveva esserci un $ \displaystyle \sqrt{15} $ nel primo denominatore?

Ciao!