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In un recente esperimento spaziale era previsto che un satellite venisse lanciato da una navetta spaziale restando collegato ad essa attraverso un filo flessibile ed inestendibile della lunghezza di $ 20 km $in modo da orbitare esternamente. si assuma che la navetta spaziale orbiti ad una quota$ d $ che la massa del satellite$ (500kg) $ sia molto più piccola di quella della navetta. Si determini:

(a) il periodo di rotazione del sistema navetta-satellite intorno alla terra.

(b) la tensione a cui è sottoposto il filo di collegamento.

Dati:
- costante di gravitazione universale $ G_n = 6,7 \cdot 10^{-11} m^3/kg s^2 $
- raggio terrestre $ R_T =6400 km $
- massa della terra $ M_T=6 \cdot 10^{24} kg $

Se non ho capito male il satellite orbita intorno alla terra ad una quota (d + 20km) e quindi il filo è la prosecuzione della congiungente terra-navicella, o sbaglio?

Per quota si intende la distanza dalla superficie terrestre, vero?

Partendo da queste ipotesi provo a dare una soluzione...

(1) Affinchè la navetta resti in orbita, la forza centrifuga deve essere uguale alla forza gravitazionale. Detta M>>m la massa della navetta

$ M \frac{V_{nav}^2 } r = G \frac{M_T M }{r^2} $

da cui si ricava che

$ V_{nav} = \sqrt{\frac{G M_T} r} $

dove r è la distanza tra il centro della terra e la navetta e vale quindi (d + 6400km).

Dunque, siccome M>>m il centro di massa del sistema navetta-satellite corrisponde con la navetta

essendo

$ T = \frac{V} {2\pi r} $

$ T = \frac{\sqrt{\frac{G M_T} r}}{2 \pi r} $

che non è numericamente determinabile se non in funzione di d.

(2) Se il satellite ha una velocità

$ V_{sat} = \sqrt{\frac{G M_T}{r'}} $

dove r' = r + 20km = d + 6420km

la tensione del filo è nulla in quanto il satellite è in equilibrio siccome sono uguali le forze centrifuga e gravitazionale.

Direi quindi che il filo debba avere un'orientazione differente da quella che avevo ipotizzato...

Non credo si debba interpretare così.
Il testo dice che la navetta orbita a una quota pari a $ d $ e 20 km è la lunghezza del cavo.
Tuttavia non mi è chiaro come si possa ottenere un risultato numerico completo non specificando $ d $ .

@ drago88

sei sicuro che non sia dato il valore, magari indirettamente dicendo che il satellite è in orbita geostazionaria?

ciao

Il valore numerico nn è dato!Comunque non è importante trovare un valore numerico quanto invece risolvere il punto (b) in funzione dei dati forniti.

Ciao

Allora ci provo.

Soluzione tutta letterale visto che $ d $ è parametro.
Pongo: $ m $ massa del satellite, $ M $ massa della navicella (serve solo per la relazione $ m<<M $), $ l $ lunghezza del cavo ($ l=20000 m $), $ R=R_T+d $ distanza della navicella dal centro della Terra e, infine, il parametro adimensionale $ \lambda=l/R<<1 $.

Suppongo che un opportuno sistema porti il satellite a orbitare esternamente alla navicella in modo che satellite-navicella-centro della terra siano sempre allineati (una volta messo in tale posizione con la giusta velocità il satellite vi resterà naturalmente).
Se la massa del satellite è trascurabile (come dice il testo), l'operazione di trasferimento del satellite non comporta modifiche di orbita della navicella (SOPRATTUTTO SE IL CAVO POI SI SPEZZA ).

Pertanto:

1) periodo di rotazione: $ T= 2 \pi \sqrt{R^3/G_nM_T} $

2) Tiro del cavo: $ G_n m M_T [(1+\lambda)-1/(1-\lambda)^2]/R^2 $
essendo $ l/R<<1 $ tale valore si può approssimare con: $ 3\lambda G_n M_Tm/R^2} $

ciao

Ho fatto un errorino nel punto (1):

$ T = 2\pi \frac{r}{V} $

quindi

$ T = 2\pi \sqrt\frac{r^3}{G_n M_t} $

così i calcoli tornano anche dimensionalmente...

@BMcKmas

puoi spiegare come hai ottenuto l'equazione al punto (2)

Ho fatto un errorino nel punto (1):

$ T = 2\pi \frac{r}{V} $

quindi

$ T = 2\pi \sqrt\frac{r^3}{G_n M_t} $

così i calcoli tornano anche dimensionalmente...

@BMcKmas

puoi spiegare come hai ottenuto l'equazione al punto (2)

MateCa ha scritto:Ho fatto un errorino nel punto (1):

........

@BMcKmas

puoi spiegare come hai ottenuto l'equazione al punto (2)

Scusate, anch'io avevo riportato la pulsazione invece che il periodo! Ho corretto.

Per il punto 2 ho considerato che il satellite descrive un'orbita circolare di raggio noto, con lo stesso periodo della navicella. La forza centripeta che produce il moto circolare uniforme del satellite è la forza di gravità della Terra più il tiro del filo, da cui il risultato.

ciao