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Sia
$ X=\left{z\in \mathbb C\ |\ |Re(z)|\leq\frac{\pi}{2},\ Im(z)\geq 0 \right} $

a) Determinare l'immagine di X tramite l'applicazione
$ f(z)=e^{iz} $

b) Dire se f induce un omeomorfismo su f(X)


Ciao

$ f(x+iy)=e^{-y}(\cos x+i\sin x) $
Poichè $ y\geq0 $, $ |f(x+iy)|\leq1 $ e inoltre, poichè $ y<infty>0 $; poichè $ -\pi/2\leq x\leq \pi/2 $, si ha che $ \arg f(x+iy)\in[-\pi/2,\pi/2] $.
Quindi $ f(X)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|\in]0, 1],\ \arg z\in[-\pi/2,\pi/2]\} $; infatti la funzione $ \log z $ è definita univalente su $ \mathbb{C}\setminus\{z\mid \Re z\leq0,\Im z=0\} $ (dominio che contiene il nostro candidato per f(X)) e dunque sull'insieme detto possiamo scrivere $ g(w)=-i\log w $ che è inversa di f.
Questo dimostra anche che X e f(X) sono omeomorfi, infatti f è iniettiva su X e ha un'inversa continua su f(X).