OliForum Matematico

Determinare ogni coppia (n, p) di interi tali che p è un primo > 0 ed $ n^p + p^p $ è un quadrato perfetto.

Non so se hit sta ancora nei paraggi, ma una curiosità....dove è stato trovato questo problema?

questo problema mi incuriosisce però non riesco a fare più tanto data la mia ignoranza...un aiutino? anche per MP o MSN se non vuoi scrivere sul forum.
Grazie Hitleuler

piccola parte di ragionamento...
p è dispari, chiaramente, perchè con p=2 non ci son soluzioni... quindi $ n^p+p^p $ è scomponibile, anche se non so se qusto possa servire a qualcosa...

Beh se p=2 allora n=0.
Altrimenti se MCD(n,p)=1 allora $ n^p = 1 mod p $ quindi $ n^p = 1+kp $. Si nota pure che (n+p)|a.
Ciò significa che $ kp + p^p = (a-1)(a+1) $.
e cioè $ p(k+p^{\(p-1})= (a-1)(a+1) $ e quindi p|a-1 o p| a+1................[/tex]

mmm mi sa che c'è un errore nell'applicazione del Piccolo Teorema di Fermat

se $ (n,p)=1 , n^p = n (mod p) $

Si avevo notato l'errore, comunque grazie per averlo corretto.
Il senso però non mi cambia. Il problema è alquanto strano, sembra un caso più generale dell'equazione
$ x^3 + k = y^2 $

Di questo tipo di equazioni si sa che hanno un numero finito di soluzioni, oppure non ne hanno.
Quindi il problema posto da hit, anche se in un certo senso avevo trovato un modo per valutare se ci siano o no soluzioni diverse da quelle evidenti (metodo di Runge per le equazioni diofantee), è un po'.... strano, ma interessante. Chiunque abbia uno straccio di ragionamento valido.......è ben accetto.
O forse, cosa probilie, non riesco a vedere quella piccolezza che mi permette di risolverlo in modo, diciamo facile......