OliForum Matematico

E' originale, quindi non sono proprio certo certo certo...

Dimostrare che la composizione di due rotazioni, se non è l'identità, ha al più un punto fisso.

Be', dato che nelle rotazioni i vari punti del piano mantengono le posizioni reciproche, una composizione di rotazioni con più di un punto fisso è automaticamente l'identità. Ma ho paura che sia troppo facile così

Beh beh ... detta così suona molto come "Siccome due rotazioni fanno un'isometria, se questa ha due punti fissi è l'identità" che è falso perchè ci sono le simmetrie che hanno una retta di punti fissi... cmq manca poco da qui, dando per scontata la catalogazione delle isometrie piane... ma si fa anche senza. Su, è un esercizio per tutte le età...

Beh... proviamo coi complessi ma è il mio primo tentativo quindi non garantisco

Rappresentando le due rotazioni con i numeri complessi, diciamo che esse hanno come centri $ z_0 $ e $ z_1 $ e ruotano di angoli $ \theta_0 $ e $ \theta_1 $.
Allora $ z -> [(z-z_0)*e^{i\theta_0}+z_0-z_1]*e^{i\theta_1}+z_1 $. Per avere un punto fisso zeta deve andare in sè, ossia, per dirla male, la "->" deve essere un uguale. Ma questa è una equazione di primo grado in zeta, che pertanto ha o infinite soluzioni (identità) o al più una, cvd.

Hmm.. provo ad azzardare una soluzione pseudo-sintetica.
Poichè le rotazioni sono isometrie di segno pari, anche la loro composizione sarà un'isometria di segno pari. Supponiamo che possegga due punti fissi A e B. Sia C un punto non allineato con A e B tale che il triangolo ABC i vertici siano presi in senso orario e che abbia distanza a da A e b da B. Allora la sua immagine C' deve avere distanza a da A e b da B, perchè un'isometria conserva le distanze, e inoltre ABC' deve avere i vertici orientati in senso orario, perchè è un'isometria di segno pari. Quindi C' coincide con C, l'isometria ha almeno tre punti fissi e perciò coincide con l'identità.