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Salve a tutti !!!!Io sono nuovo...scusatemi.... ma vi chiedo subito un mega favore!! Ho perso gli ultimi giorni di corso e non ho capito come si effettua la studio qualitativo di una equazione differenziale e questo è un argomento molto frequente negli appelli di Calcolo 3 e l'esame è a giorni!!!!!Mi potete dare qualche suggerimento?Per semplicità(più mia che vostra!)ho postato questo esercizio così capite meglio a cosa mi riferisco.... se ora qualcuno mi può spiegare come risolverlo:
Sia $ y(x) $ la soluzione del seguente problema di Cauchy
$ \left\{\begin{array}{rl}y'=e^{y^2-4y+3}-1 \\ y(0)=2\end {array} \right $
si chiede di studiare le seguenti proprietà di $ y(x) $:
1)limitatezza
2)monotonia
3)concavità/convessità
4)asintoti

Grazie a tutti in anticipo!!!Vi prego aiutatemi!!!Specialmente su come risolvere il primo punto perchè forse gli altri li ho capiti(o spero!) !!!grazie grazie ancora a tutti!!!

so che è brutto insistere, e chiedo umilmente scusa , ma nessuno è disposto a darmi una mano?............please....siate buoni.....help me !

Gli studi qualitativi dipendono molto dai gusti del docente, e si è reticenti nel dare indicazioni che potrebbero essere controproducenti all'esame.
In modo approssimativo, per il tuo esercizio, per quello che ricordo delle equazioni del tipo $ y'=G(x,y) $ si può dire che
1. la soluzione è definita su tutto $ \mathcal{R} $ ($ G(y)=e^{y^2-4y+3}-1 $ è continua ed ha altre gradevoli proprietà)
2. i valori $ y=1, 3 $ sono radici di $ G(y) $, quindi soluzioni costanti dell’equazione.
3. i grafici delle soluzioni non possono intersecarsi (unicità). Essendo y definita in $ \mathcal{R} $, $ y=1 $ e $ y=3 $ sono possibili asintoti orizzontali, tra cui la soluzione ricercata è costretta, e di conseguenza limitata
4. $ G(y) < 0 $ per $ 1<y<3 $, quindi $ y'<0 $ per $ 1<y<3 $, la soluzione specifica, per quanto affermato, è decrescente, con gli asintoti specificati.
5. $ y''=G'(y) = y'(2y-4)e^{y^2-4y+3} $ ha $ y=2 $ come radice, ci si può attendere un flesso per $ y=2 $ (nel tuo caso questo avviene quando $ x=0 $, per le condizioni iniziali). Lo studio del segno di $ y'' $ può confermarlo. Tra l’altro questo è consistente con il comportamento asintotico prima determinato. Per cui $ y $ è convessa se $ y<2 $ ($ x<0 $), altrimenti concava.
Tieni conto che nel punto 1 ho sorvolato disinvoltamente su certe proprietà richieste dai teoremi di esistenza ed unicità (per esempio che $ G $ sia localmente lipschitziana, che nel tuo esercizio è legato al fatto che sia differenziabile su un aperto), non conosco il livello di rigore richiesto nel tuo esame.

Mi sembra di aver capito.... si si ci sono... !!!! Alla fine il tutto si riduce ad una "specie" di studio di funzione...cmq i chiarimenti che mi hai dato sono stra-sufficienti e poi, guardando i vecchi appelli, ho notato che gli esercizi sugli studi qualitativi assegnati sono quasi simili all'esercizio postato... ...!!!grazie mille quindi...se ho qualche problema però... mi rifaccio vivo... !!

Ciao,

io purtroppo non credo di aver mai visto nei vari corsi che ho seguito una trattazione esauriente sull'analisi qualitativa delle equazioni differenziali... quindi sarei grato a chiunque volesse chiarirmi questo dubbio:

la locale lipschitzianità non dà esistenza e unicità solo locali? Cioè, nel caso in esame io direi che poiché la G è localmente lipschitziana (in quanto $ \partial_yG $ è continua e quindi localmente limitata) esistono un intorno di 0, diciamo del tipo $ ]-\delta,\delta[ $, e una funzione $ f \in C^1(]-\delta,\delta[,\mathbb{R}) $ soluzione del problema di Cauchy proposto, unica tra quelle definite in $ ]-\delta,\delta[ $.
Parlando teorema di esistenza e unicità globale alla mano, mi pare che in questo caso sia inutilizzabile perché richiede una ipotesi di "crescita sublineare" $ |G(y)| \leq A |y|+B $ con A e B costanti opportune, cosa di cui non disponiamo nel nostro caso particolare.
Come si fa a dire che in questo caso la soluzione massimale è definita su tutto $ \mathbb{R} $?

Grazie a chiunque vorrà rispondermi.

Se ben ricordo (sono passati ... anni), il teorema di esistenza globale per il problema di Cauchy $ y'=G(x,y); y(x_0)=y_0 $ afferma che se $ G: I\times \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^k $ è al più lineare, allora OGNI soluzione massimale è definita su $ I $ (anche illimitato). Tra le conseguenze del teorema locale (con le condizioni di etc. etc), invece, c'era che una soluzione massimale O è definita su $ I $ O tende a $ \pm \infty $ per punti interni a $ I $. L'unicità e la presenza di soluzioni costanti, con i vincoli che impongono, fanno il resto. In effetti aver inserito nel primo punto il dominio di definizione è stata, come detto, un'eccessiva disinvoltura, posso dire che faceva parte di quegli abusi a suo tempo consentiti.

Amici mi serve una mano ( ) perché non riesco a venire a capo di un esercizio che per voi di sicuro sarà facilissimo
Sono due punti: sul primo ho una mezza idea sul secondo non so proprio come iniziare...

Sia data la seguente equazione differenziale:

$ \displastyle y''-9y=6x $

1)determinare una soluzione dell'equazione che sia lineare e dire (motivando la risposta ) se esistono altre soluzioni con questa proprietà;
2)determinare una soluzione dell'equazione che ammette un'asintoto obliquo quando x tende a $ +\infty $ e calcolarlo. In più dire se esistono altre soluzioni dell'equazione con questa proprietà (motivando la risposta ).

intanto l'integrale generale a me è venuto:

$ \displaystyle y(x)=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}-\frac{2}{3}x $

ora passando al punto 1) ho pensato che per essere lineare basta che le costanti C1 e C2 siano nulle...perché così resta $ y(x)= -\frac{2}{3}x $. Vi sembra corretto questo ragionamento??e poi ne esistono di altre?? a me non convince molto...per il punto 2) mi affido pienamente a voi !!

grazie in anticipo a che mi risponderà!!

Allora??
nessuna idea?
help please!!
Io ci sto pensando ma non riesco a risolverlo...mi blocca il fatto che ci sono i due parametri C1 e C2...se richiedeva di calcolare l'asintoto obliquo della soluzione di un problema di Cauchy era tutto molto più facile...
confido in una vostra risposta...
ciao ciao!!

Per il punto 1), perchè non provi a supporre che $ y=ax+b $ e sostituisci vedendo per quali valori di a,b questa soddisfa l'eq. diff?
Per il punto 2), beh, se quella è la sol generica, basta fare la sua derivata e calcolare, in dipendenza delle costanti di integrazione, il limite per x->infinito: se tale limite è finito,allora c'è un asintono obliquo, no?

la teoria ci dice che un'equazione differenziale omogenea se ha soluzione questa e' unica.
se non e' omogenea, se ha soluzione questa e' unica, a meno di una costante moltiplicata per la soluzione omogenea (ha una famiglia di soluzioni $ y=g(x)+k\cdot f(x)) $.
dato che la sol omogenea non e' lineare, mentre la "sol non omogenea" si, la costante e' chiaramente nulla.

le eq. diff. si risolvono con la teoria e un po' di conti.

Ok... !!mi sembra di aver capito come procedere!!!
grazie per avermi sciolto quest'ultimi dubbi!!!