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Sconsigliato ai piu' esperti ma per favore lasciate a tutti il tempo di provare per piacere

sia $ a_1,a_2,\cdots,a_n $ la successione definita come

$ a_1=2 $

$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{a_n+2} $

Si dimostri che vale $ a_n-\sqrt{3}>0\qquad\forall n\in\mathbb N $

carino!
ottimo per riposarsi un attimo dal scrivere la tesi
Grazie

Non sono certamente un esperto, quindi ci provo.

Ovviamente, tutti gli elementi di questa successione
sono numeri razionali positivi.

Per nessun termine $ a_n $ possiamo avere $ a_n^2=3 $
dal momento che 3 non è il quadrato di un numero
razionale.

Supponiamo, allora, che $ a_n^2 = \left(\frac{2a_{n-1}+3}{a_{n-1}+2}\right)^2<3 $.
Da ciò deriva, sviluppando il quadrato e con pochi
altri passaggi, che $ a_{n-1}^2 <3 $.
Ripetendo lo stesso ragionamento, si passa via via
da un termine a quello precedente, fino ad arrivare
alla disuguaglianza $ a_1^2<3 $, la quale però non è
verificata, essendo $ a_1=2 $.

Rimane confermata, dunque, la limitazione indicata.

io l'ho pensata cosi'
posto $ ~ a_n>k $ ottengo che $ ~ a_{n+1} > f(k) $. Ho posto $ ~ k=f(k) $ ed e' venuto fuori $ ~ k=\sqrt{3} $

$ \displaystyle a_{n+1} - \sqrt{3} =\frac{ (a_n - \sqrt{3}) (2-\sqrt{3} )}{ a_n + 2 } $

...a buon intenditor, poche parole
Bella soluzione!

@ STW... avevo richiesto questo problema per i non esperti.... ma va che scherzo... complimenti per la soluzione piuttosto

@Br1... Giusto giusto una cosetta... l'induzione che hai scelto e' corretta ma certamente la piu' complicata.... guarda questa......

$ a_n^2>3 $ segue da $ a_1=2 $

$ \displaystyle a_{n+1}^2=\frac{4a_n^2+12a_n+9}{(a_n+2)^2}>\frac{3(a_n+2)^2}{(a_n+2)^2}=3 $

Da cui segue la tesi

Ottimo, pi_greco_quadro!
In realtà, avevo pensato altre cose più
"svelte" di quella che ho proposto, però
ho voluto lo stesso farmi una "passeggiata"
nel problema di quel tipo.
So che qui siete tutti bravi e spidispidi e mi
piace molto leggere le vostre soluzioni, ma
quando rispondo (quando trovo due minuti
per farlo) lo faccio sapendo che le mie proposte
non reggeranno al confronto...
Però mi diverto lo stesso
Complimenti!

Si ricava anche che $ $\sqrt 3$ $ è proprio il limite della successione... che è (motonicamente) decrescente e inferiormente limitata...

ovviamente si ani... ma se avessi chiesto dimostrare che il limite della successione e' proprio $ \sqrt{3} $ magari sarebbe potuto sembrare non olimpico.. comunque il problema che ho trovato io era proprio quello... ciao ciao

io rispondo da umilissimo liceale di quinta che non sa niente sulle sussessioni... ma scusate tanto... se il primo numero della successione è 2 sottraendone radice di 3 è il risultato è sempre >0

IL fatto è che ciò che dici è vero solo se dimostri che la succ. è crescente...