$ \displaystyle\int_{-1}^{+1} (1-x^2)dx $ è un integrale(per essere preciso un integrale definito). L'integrale rappresenta l'
operazione inversa della derivazione. Quindi la scrittura $ \displaystyle \int f(x)dx $significa che bisogna trovare una funzione $ \varphi(x) $ (detta
primitiva) che derivata sia uguale a $ f(x) $.
Es:
$ \displaystyle\int \cos x dx= \sin x $ perché $ D ( \sin x)=\cos x $
Quindi:
$ D[\int f(x)dx]=f(x) $
Gli integrali godono di molte proprietà:
1. $ \displaystyle \int kf(x)dx = k \int f(x)dx $ con $ k $ una costante
es:
$ \displaystyle \int \frac{x}{2}dx= \frac{1}{2} \int x dx $
In parole povere quando c'è una costante(un numero) che moltiplica la funzione integranda ( f(x) ) questa può essere portata fuori dal segno di integrale.
2.$ \displaystyle \int [ f_1(x)+f_2(x) ]dx= \int f_1(x)dx + \int f_2(x)dx $
es:
$ \displaystyle \int [x+x^2]dx= \int xdx + \int x^2dx $
Per farla breve: l'integrale di una somma di più funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni.
NB
Le due proprietà che ho scritto possono essere combinate tra loro quindi si può concludere che l'integrale è un
operatore lineare.
Esistono due tipi di integrali:
indefiniti e
definiti (con i numeri agli estremi del segno di integrazione) Per prima cosa bisogna imparare a calcolare quelli indefiniti:
esistono delle semplici formule(che servono ad integrare funzioni elementari chiamati
integrali immediati e bisogna impararle a memoria insieme ad alcune tecniche d'integrazione) ad esempio scrivo quella utile al tuo caso:
$ \displaystyle \int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha +1}+ C $ con $ \alpha \not = -1 $ ( C è una costante che va sempre aggiunta ogni volta che si risolve un i
ntegrale indefinito). In particolare $ \int 1dx=x+C $
Ancora:
$ \int \frac{1}{x}dx= \log|x|+C $
$ \int e^xdx=e^x+C $
$ \int \sin x dx= -\cos x +C $
$ \int \cos x= \sin x+C $
$ \int \frac{1}{\cos^2x}= \tan x+C $
$ \int \frac{1}{\sin^2x}= -cot x +C $
Le altre formule raccolte in tabelle e le tecniche di integrazione come l'
integrazione per sostituzione o
per parti le puoi trovare su tutti i libri che trattano degli integrali.
L'integrale definito è strettamente legato a quello indefinito e per calcolarlo si ha la seguente formula fondamentale:
$ \displaystyle \int_a^b f(x)dx= \biggl[ \varphi(x) \biggr]_a^b = \varphi(b) -\varphi(a) $
Questo vuol dire che:
se $ \varphi(x) $ è una
primitiva di $ f(x) $,
l'integrale definito è dato dalla differenza tra i valori che la primitiva assume rispettivamente nell'estremo superiore(b) ed inferiore(a) d'integrazione. Quindi è chiaro che l'
integrale indefinito rappresenta una famiglia di funzioni mentre l'i
ntegrale definito è un numero!
Passando al tuo esercizio si ha:
$ \displaystyle\int_{-1}^{1}\ (1-x^2)dx= $ $ \displaystyle\biggl[ \overbrace{ x-\frac{x^3}{3} }^{\varphi(x)}\biggr]_{-1}^{1}= $ $ [\overbrace{((1)-\frac{(1)^3}{3})}^{\varphi(b)}-\overbrace{((-1)-\frac{(-1)^3}{3})}^{\varphi(a)}]=[\frac{2}{3}+\frac{2}{3}]=\frac{4}{3} $
Quindi $ \biggl[{ x-\frac{x^3}{3}\biggr]_{-1}^{1} $ esce fuori dal fatto che $ \int1dx= x $ mentre $ \int -x^2dx=-\frac{x^3}{3} $ ed essendo un integrale definito bisogna valutarlo tra gli estremi di integrazione.
Spero che ti sia stato d'aiuto
cmq quello che ho scritto è moooooolto sintetico ti consiglio di rivedere il tutto su un buon libro delle superiori tra l'altro gli integrali in statistica sono parecchio presenti....
[mod pistino=off]
Confesso la mia discreta ignoranza sul tema "Modi di dire e loro zone di diffusione", tuttavia penso fosse capito lo stesso, almeno a grandi linee!