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Fresco fresco dall'esame che ho sostenuto oggi vi regalo questo "bel" integrale doppio che per mio sfortuna ( ) non sono riuscito a risolvere....!

$ \int\! \int_{D_k} \frac{2}{x} \frac{1}{1+(y+\log x)^2} $
dove:
$ D_K= $ $ (x,y)\in\mathcal{R}^2 / $ $ x>0 $ , $ log x+5 \leq y \leq logx+10 $ , $ 1-logx\leq y \leq k-logx $
con $ k \in [1, +\infty) $
NB
$ logx $ è in base "e"

Non chiedo che mi dovete fare tutti i passaggi ma i fondamentali...sul compito ad esempio nei primi punti (in tutto erano 5 )mi si chiedeva:
1) rappresentare $ D_K $ graficamente
2)un cambiamento di variabili utile per il calcolo dell'integrale su $ D_K $ e il suo valore.

Mi interesserebbe molto quest'ultima parte(ossia il cambio di variabili con annesso calcolo dello jacobiano....)...attendo risposta...grazie in anticipo...confido in voi!!!!

se ben ricordo, la teoria ci dice che
$ \displaystyle \int_{x_a}^{x_b} \int_{y_a}^{y_b} \frac{2}{x} \frac{1}{1+(y+\ln{x})^2}\textrm{d}x \textrm{d}y = \int_{x_a}^{x_b} \frac{2}{x} \biggl[ \arctan{(y+\ln{x})}\biggr]_{y_a}^{y_b} \textrm{d}x $

non ho ben capito com'e' definita $ ~ D_k $

SkZ ha scritto:non ho ben capito com'e' definita $ ~ D_k $

In effetti neanch'io anzi quando l'ho visto all'esame mi ha fatto un po' impressione...
Cmq $ D_K $(sempre se sulla brutta-copia ho ricopiato bene ma penso proprio di sì ) dovrebbe essere quella parte di piano compresa fra tutte quelle curve logaritmiche e sono finalmente riuscito a rappresentarlo graficamente grazie al computer...nelle due ore d'esame purtroppo non ci sono riuscito Ma la parte più importante(almeno credo) è quella in cui mi si chiede un cambiamento di variabili che semplifichi notevolmente i calcoli.
Scrivo questo esempio molto banale per farmi capire meglio.
Esempio:
Sia $ \displaystyle \int \!\int_D(x-y)\log{(x+y)}dxdy $
con $ D= ${$ (x, y) \in \mathcal R^2 / 0 \leq x-y \leq1 $ , $ 1 \leq x+y\leq3 $}
in questo caso procedo ponendo $ u=x-y $ e $ v=x+y $ e quindi:
$ D \stackrel{diventa}{\longmapsto} D'= ${$ (u , v) \in \mathcal R^2 / 0 \leq u \leq 1 $ , $ 1 \leq v \leq 3 $}
Riscritto il dominio di integrazione, calcolo il determinate jacobiano($ det J= \left | \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac {\partial y}{\partial v} \end{array} \right| $)della trasformazione $ \left\{ \begin{array}{rl} u=x-y \\ v=x+y \end{array} $ e risolvo l'integrale con la formula di cambiamento di variabili:
$ \displaystyle \int \int_A f(x,y)dxdy=\int \int_B f(x(u,v),y(u,v)) \left | \begin {array} (detJ \end {array} \right |dudv $

Tutto il trimestre abbiamo trattatto(forse in maniere un po' troppo meccanica) integrali doppi simili a questo esempio(o in coordinate polari)e pensavo che il giorno dell'esame sarebbe uscito qualcosa di "simile"... ma con quello di prima (quello assegnatomi oggi all'esame) come mi comporto? mi è sembrato proprio diverso( ) e vorrei capire come risolverlo...

Mi dispiace proporre soluzioni a cui arrivo con ancora una quantità di domande senza una risposta, ma di primo acchitto ho pensato

$ \left \{ \begin{array}{l}z=y+\log x \\ w=\log x \end{array} $

Invertendo

$ \left \{ \begin{array}{l}x=e^w \\ y=z-w \end{array} $

La matrice Jacobiana di quest'ultima trasformazione è

$ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ e^w & -1 \end{array}\right) $

E il modulo del suo determinante $ J=e^w $. Il nuovo dominio è

$ \{ (z,w) \in \mathbb{R}^2\ |\ 1 \leq z \leq k,\ \frac{z-10}{2} \leq w \leq \frac{z-5}{2} \} $

E quindi applicando i vari teoremi che mi dovrei sinceramente riguardare (Fubini, Tonelli, cambiamento di variabili)... (ne sento proprio la necessità) "ottengo"

$ \int_1^k (\int_{\frac{z-10}{2}}^{\frac{z-5}{2}} dw) \frac{2}{1+z^2} dz=5 \int_1^k \frac{1}{1+z^2}dz=5[arctg(z)]_1^k=5(arctg(k)-\frac{\pi}{4}) $

Beh, siate buoni...

Grazie mille per l'aiuto ... il cambiamento di variabili che hai proposto mi sembra adatto perchè semplifica notevolmente l'integrale però non ho chiare delle cose, posso farti due domande:

1. Nel nuovo dominio $ D'_{K} $ come ci arrivo a $ \frac{z-10}{2} \leq w \leq \frac{z-5}{2} $ ? (come si arriva a $ 1 \leq z \leq k $ l'ho capito)

2. Con la trasformazione $ \left \{ \begin{array}{l}z=y+\log x \\ w=\log x \end{array} \Longrightarrow \left \{ \begin{array}{l}x=e^w \\ y=z-w \end{array} $ la funzione integranda non diventa così:
$ \displaystyle \int \int_{D_{K}} \frac{2}{x} \frac{1}{1+{(y+logx)}^2}dxdy $$ \longmapsto $$ \displaystyle \int \int_{D'_{K}} \frac{2}{e^w} \frac{1}{1+z^2}dwdz $ ???
Quello che hai risolto tu è diverso ( ossia non compare$ \displaystyle \frac{2}{e^w} $ )...dove sbaglio ancora?

A queste domande mi sento (abbastanza) in grado di rispondere

Abbiamo

$ \left \{ \begin{array}{l}x=e^w \\ y=z-w \end{array} $

Dalla condizione $ \log x+5 \leq y \leq \log x+10 $ segue, sostituendo e riscrivendo in termini di $ z,w $

$ w+5 \leq z-w \leq w+10 $

questo si riscrive come sistema

$ \left \{ \begin{array}{l}w+5 \leq z-w \\ z-w \leq w+10 \end{array} \rightarrow \left \{ \begin{array}{l}w \leq \frac{z-5}{2} \\ w \geq \frac{z-10}{2} \end{array} $

da cui $ \frac{z-10}{2} \leq w \leq \frac{z-5}{2} $

Per quanto riguarda il termine $ e^w $ che scompare dal denominatore dell'integrando, tale scomparsa è dovuta alla moltiplicazione dell'integrando iniziale per il modulo del determinante della matrice Jacobiana dell'inversa della trasformazione utilizzata, che vale proprio $ e^w $ (teorema di cambiamento di variabili, di cui il testo su cui studio ho scoperto omettere la dimostrazione).

Ciao

Ora il dominio è chiaro...capito....!!!! !!!grazie mille....

per $ e^w $ mi merito una bella tirate di orecchie ........infatti prima nella formula ho scritto:

$ \displaystyle \int \int_{D_{K}} \frac{2}{x} \frac{1}{1+{(y+logx)}^2}dxdy $ $ \longmapsto $ $ \displaystyle \int \int_{D'_{K}} \frac{2}{e^w} \frac{1}{1+z^2}dwdz $--->>>ke orrore\errore

Niente di più sbagliato caspita....perdono pietà !!!!!!! troppo distratto!!!!

PS
GRazie ancora!!!

Eh... anch'io ho un problema simile... forse pure più semplice che non so risolvere..
L'esercizio e questo:

Calcolare l’integrale doppio $ \displaystyle\int\int_D (x^2 + y^2) dx dy $ essendo $ D $ la parte di corona circolare limitata dalle circonferenze di centro (0; 0) e raggi 1 e 2 contenuta nel secondo e terzo quadrante del piano.


intanto se ben ricordo il secondo e terzo quadrante dovrebbero essere quelli in cui la $ x $ è negativa... quindi $ -2 \le x \le -1 $ e $ -2 \le y \le -1 U 1 \le y \le 2 $


Ora ho qualche dubbio sulla costruzione dell'integrale... più che altro per la $ y $ visto che in $ y $ il dominio non è continuo... mi conviene forse trasformare in coordinate polari? O forse posso comportarmi come di seguito... (premetto che non so se quello che sto per fare, si possa fare):

$ \displaystyle\int_{-2}^{-1}[\int_{-2}^{-1}(x^2+y^2)dy+\int_{1}^{2}(x^2+y^2)dy]dx $

in questo caso conviene portarsi in coordinate cilindriche e si ha (dato che $ ~ \textrm{d}x\textrm{d}y = \rho \textrm{d}\rho \textrm{d}\theta $)
$ \displaystyle\int\int_D (x^2 + y^2) \textrm{d}x \textrm{d}y =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_1^2 (\rho^2) \rho \textrm{d}\rho \textrm{d}\theta = \int_1^2 \rho^3 \textrm{d}\rho \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\textrm{d}\theta $

Quando si hanno domini circolari è quasi sempre utile trasformare in coordinate polari .
Poi il dominio D si scrive così:
$ \displaystyle D=\left\lbrace \left( x;y\right) \in\mathbb R^2: 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4 , x\leqslant0\right\rbrace $
dove $ 1\leqslant x^2+y^2\leqslant4 $ è la parte di corona circolare limitata dalle circonferenze di centro (0; 0) e raggi 1 e 2 mentre $ x\leqslant0 $ indica il secondo e terzo quadrante..porti tutto in coordinate polari:
$ \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{cc} x=\rho \cos \theta & \mbox{con } \rho \in [1,2] \\ y=\rho \sin \theta & \mbox{con } \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}] \end{array} $
e poi non dimenticare il determinante jacobiano che nel caso delle coordiante polari vale sempre $ \rho $

ps
Formula di cambiamento di variabili da cartesiane a polari:
$ \displaystyle \int \int_A f\left( x;y\right) dxdy=\int \int_B f\left( \rho \cos \theta; \rho \sin \theta) \rho d \rho d \theta $

pps
scusa SkZ spesso capita che tu dai una risposta mentre io ancora sto cercando di scrivere la mia correttamente in $ \LaTeX $ (sono molto lento ancora!) ...non è mia intenzione fare da eco ai tuoi messaggi...ti chiedo di nuovo scusa...

e ho risolto così...
$ \displaystyle\int_{-2}^{-1}[[x^2y+\frac{1}{3}y^3]_{-2}^{-1}+[x^2y+\frac{1}{3}y^3]_1^2 ]dx= $

$ =\displaystyle\int_{-2}^{-1}(-x^2+\frac{1}{3}+2x^2+\frac{8}{3}+2x^2+\frac{8}{3}-x^2-\frac{1}{3})dx= $

$ \displaystyle\int_{-2}^{-1}(\frac{14}{3}+2x^2)dx = $

$ =[\displaystyle\frac{14}{3}x+\frac{2}{3}x^3]_{-2}^{-1}= $

$ =\displaystyle-\frac{14}{3}-\frac{2}{3}+\frac{28}{3}+\frac{16}{3}= \frac{28}{3} $



Ah si scusate non avevo ancora letto i vostri post.... quindi penso che così non vada bene...

Apocalisse86 ha scritto:scusa SkZ spesso capita che tu dai una risposta mentre io ancora sto cercando di scrivere la mia correttamente in $ \LaTeX $ (sono molto lento ancora!) ...non è mia intenzione fare da eco ai tuoi messaggi...ti chiedo di nuovo scusa...

e di che? effettivamente ogni tanto tendo a essere molto conciso nelle mie spiegazioni. Tu l'hai messo giu' in modo un po' piu' chiaro (forse piu' che un po' )
Qui l'importante e' che il richiedente capisca, quindi 2 spiegazioni sono meglio che una

non ci siamo
se tieni le coordinate standard, allora hai
$ \displaystyle \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^0(x^2+y^2) \textrm{d}x \textrm{d}y - \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^0(x^2+y^2) \textrm{d}x \textrm{d}y $
integrale sulla semi corona con raggio esterno 2 e raggio interno 1 = integrale sul semicerchio di raggio 2 meno integrale sul semicerchio di raggio 1
non per niente e' conveniente portarsi in coordinate polari

ok SkZ allora sto tranquillo....e poi hai ragione tu: "two is better than one" !!
alla prossima!!

Apocalisse86 ha scritto: $ \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{cc} x=\rho \cos \theta & \mbox{con } \rho \in [1,2] \\ y=\rho \sin \theta & \mbox{con } \theta \in [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}] \end{array} $
[/tex]

Non capisco perchè $ \rho \in [1,2] $ ma y vale tra -2 e -1