OliForum Matematico

Ho scoperto da poco il giornalino della matematica curato dal gruppo tutor... mi sono messo a fare gli esercizi del numero 0 e mi sono imbattuto nel numero 8, che riporto per i pigri!

Si dimostri che, presi 4 punti a piacere interni a una circonferenza di raggio unitario, se ne trovano sempre due la cui distanza è inferiore a $ \displaystyle \sqrt2 $ .
L'ho risolto, a meno di un claim, che per l'appunto non so dimostrare.

Ho congetturato (termine altisonante, poi di sicuro è un risultato ben noto!) che nella situazione del cerchio, presi n punti a caso, detta $ \displaystyle d_{AB} $ la misura del più piccolo segmento tra quelli che uniscono ogni punto con tutti gli altri, al fine di massimizzare $ \displaystyle d_{AB} $ occorre disporre gli n punti sulla circonferenza, ai vertici di un $ \displaystyle n $ -agono regolare...

Ammesso che ciò sia vero, si osserva dunque che i 4 punti vanno posti ai vertici di un quadrato, avente la diagonale pari a 2, dunque il lato (ossia la distanza tra due punti qualunque, che è sempre la stessa) vale $ \displaystyle \sqrt2 $ . In ultimo, poichè nelle ipotesi si impone che i punti siano scelti interni al cerchio (escludendo quindi a mio parere la circonferenza), la tesi è dimostrata...

Vi sarei grato se voleste dimostrare il mio claim, please...
Grazie comunque
Ciao!

EDIT: Aggiunto il numero del giornalino da cui è tratto l'esercizio...

Non ho capito cosa vuol dire il tuo claim (cosa vuol dire massimizzare?) però ecco una traccia per la dimostrazione che è venuta a me:
- dimostra che in un triangolo isoscele acuto, con 2 lati lunghi 1, la distanza massima tra due punti interi è $ \sqrt{2} $ (puoi usare che l'altro lato è minore di $ \sqrt{2} $ e appunto in un triangolo la distanza massima si ottiene tra 2 vertici.
- a questo punto ottieni facilmente l'assurdo (^AOB + ^BOC + ^COD + ^DOA > 360)

grazie per l'idea...
Comunque per massimizzare quella distanza intendevo questo: immagina di piazzare quattro punti a caso in un cerchio, verosimilmente non saranno equidistanti, dunque ce ne saranno due più vicini tra loro di quanto sia ogni altra coppia di punti, diciamo a distanza d. Ora, il mio claim risponderebbe all'esigenza di trovare il valore massimo che può raggiungere d, considerando che siamo in un cerchio di raggio 1.
Spero di essere stato chiaro... se no non so come riformularlo! E' già abbastanza un casino di suo, più di due versioni non riesco a inventarmi!