OliForum Matematico

ciao, è data un'applicazione lineare $ f \in End \mathbb R^3 $ tale che $ (x,y,z) \mapsto (z,2y+z,2z) $
Trovare un altro endomorfismo g di $ \mathbb R^3 $ tale che $ g \composite f $ sia diag.le e di rango 2.

beh ... $ f(1,0,0)=(0,0,0)\quad f(0,1,0)=(0,2,0)\quad f(0,0,1)=(1,1,2) $
quindi se poniamo $ g(1,0,0)=(1,0,0)\quad g(0,2,0)=(0,1,0)\quad g(1,1,2)=(0,0,1) $ (e possiamo farlo poichè (1,0,0), (0,2,0) e (1,1,2) sono lin. ind.) abbiamo che
$ g(f(1,0,0))=(0,0,0)\quad $$ g(f(0,1,0))=(0,1,0)\quad g(f(0,0,1))=(0,0,1) $ e dunque gf è diagonale di rango 2.

in generale hai fatto cosi

per comodità possiamo considerare la base di autovettori di gf quella canonica pertanto deve essere

$ $gf(1,0,0)=(a,0,0) \qquad gf(0,1,0)$ $$ $=(0,b,0) \qquad gf(0,0,1)=(0,0,c)$ $ per qualche a,b,c nel campo.
La condizione di sopra diventa

$ $g(0,2,0)=(0,b,0) \qquad g(1,1,2)=(0,0,c)$ $.
Si ha inoltre $ gf(1,0,0)=g(O) = (a,0,0) \Rightarrow a=0 $

Dunque la matrice associata a gf rispetto alla base canonica è $ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix} $ che ha rango 2 laddove b e c sono diversi da 0.

giusto?