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Siano $ a_1,a_2,\ldots,a_{2n} $ interi distinti.

Dimostrare che se r è una radice razionale del polinomio:
$ P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{2n})+(-1)^{n+1}(n!)^2 $

Allora r è la media (aritmetica) di $ a_1,\ldots,a_{2n} $.

Dopo averci pensato un po' penso di poter dare un hint utile per ravvivare questo problema tutt'altro che complicato...

Consideriamo il fatto che, dati $ 2n $ interi distinti, allora vale

$ \displaystyle \mid (r-a_1)(r-a_2)\cdots (r-a_{2n})\mid \geq \mid (1)(2)\cdots(n)(-1)(-2)\cdots(-n)\mid $ $ =(n!)^2 $

E qui deve valere l'uguaglianza...

semplicissimo:

come giustamente ha detto pi greco quadro se vale l'uguaglianza avremo:


$ \displaystyle (r-a_1)(r-a_2)\cdots (r-a_{2n}) = 2nr-(a_1+a_2+\cdots+ a_2n ) $ $ \displaystyle = 1+2+\cdots+n+(-1)+(-2)+\cdots+(-n)=0 $

quindi $ \displaystyle \frac {a_1+a_2+\cdots+a_2n} {2n} $

Forse intendete $ r $ intero?

Beh... quel r razionale in realtà lo ho aggiunto io per rendere inutilmente più complicata la soluzione.
Infatti una radice razionale di un polinomio monico a coefficienti interi è per forza intera (monico vuol dire che il coefficiente difgrado più alto è 1).