Alberto ai grandi magazzini si diverte salendo le scale mobili al contrario; in particolare sale dal secondo al terzo piano usando le scale mobili che scendono dal terzo al secondo piano.
Quando sale velocemente impiega 14 secondi e sale 52 gradini, quando sale più lentamente impiega 20 secondi salendo 64 gradini.
Quanti secondi impiega una persona a scendere dal terzo al secondo piano usando le scale mobili rimanendo ferma sul proprio gradino durante la percorrenza?
Risposte:
a _ 10
b _ 12
c _ 15
d _ nessuna delle precedenti
ps: oltre a trovare la soluzione spiegate anche il modo in cui siete arrivati
Le scale mobili
Soluzione un po' macchinosa...
Tutte le velocità sono espresse, un po' fantasiosamente, in "gradini al secondo"
La prima velocità è, diciamo, $ \displaystyle v'_1=\frac{52}{14}=\frac{26}{7} $ e la seconda $ \displaystyle v'_2=\frac{64}{20}=\frac{16}{5} $.
Queste velocità, però, non sono quelle effettive, ma quelle risultanti dalla differenza tra la velocità di scorrimento della scala mobile e le velocità assolute di salita di Alberto, chiamiamole $ v_1,v_2 $. D'altronde, se $ \Delta t_1 $ e $ \Delta t_2 $ sono i due intervalli di tempo, la relazione $ \displaystyle \frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}=\frac{v_2}{v_1} $ è comunque valida, e ne discende $ \displaystyle v_1=\frac{10}{7}v_2 $ . Per cui, se $ u $ è la velocità di scorrimento, si ha:
$ \displaystyle \frac{26}{7}=v_1-u=\frac{10}{7}v_2-u $
$ \displaystyle \frac{16}{2}=v_2-u $
da cui, con un po' di calcoli, $ u=2 $. Ora basta considerare il fatto che il numero di gradini saliti da Alberto in uno dei due casi, diciamo nel primo, è:
$ 52=n+u \cdot \Delta t_1 $, dove $ n $ è il numero di gradini della scala mobile, e risulta $ =24 $. Da qui il tempo di discesa è $ \displaystyle \frac{24}{u}=12 $ secondi.
Tutte le velocità sono espresse, un po' fantasiosamente, in "gradini al secondo"
La prima velocità è, diciamo, $ \displaystyle v'_1=\frac{52}{14}=\frac{26}{7} $ e la seconda $ \displaystyle v'_2=\frac{64}{20}=\frac{16}{5} $.
Queste velocità, però, non sono quelle effettive, ma quelle risultanti dalla differenza tra la velocità di scorrimento della scala mobile e le velocità assolute di salita di Alberto, chiamiamole $ v_1,v_2 $. D'altronde, se $ \Delta t_1 $ e $ \Delta t_2 $ sono i due intervalli di tempo, la relazione $ \displaystyle \frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}=\frac{v_2}{v_1} $ è comunque valida, e ne discende $ \displaystyle v_1=\frac{10}{7}v_2 $ . Per cui, se $ u $ è la velocità di scorrimento, si ha:
$ \displaystyle \frac{26}{7}=v_1-u=\frac{10}{7}v_2-u $
$ \displaystyle \frac{16}{2}=v_2-u $
da cui, con un po' di calcoli, $ u=2 $. Ora basta considerare il fatto che il numero di gradini saliti da Alberto in uno dei due casi, diciamo nel primo, è:
$ 52=n+u \cdot \Delta t_1 $, dove $ n $ è il numero di gradini della scala mobile, e risulta $ =24 $. Da qui il tempo di discesa è $ \displaystyle \frac{24}{u}=12 $ secondi.
dato g numero di gradini percorsi, n numero di gradini visibili, v velocita' di discesa e t tempo impiegato a salire
$ ~ g=n+vt $
quindi
$ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 14 \\ 1 & 20 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n \\ v \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 52 \\ 64 \end{array} \right) $
quindi $ ~ v=2\quad n=24 $, ergo $ ~ t=\frac{n}{v}=12 $
$ ~ g=n+vt $
quindi
$ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 14 \\ 1 & 20 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n \\ v \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 52 \\ 64 \end{array} \right) $
quindi $ ~ v=2\quad n=24 $, ergo $ ~ t=\frac{n}{v}=12 $
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