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A voi la seguente funzione:

$ ${|log(log\sqrt{{x}^{2}+1})|}$ $

Seguendo ciò che mi ha scritto Apocalisse sullo studio di |f(x)| ho studiato la f(x) nei seguenti C.E.:

$ ${0}<{x} \leq {1} {\Longrightarrow} -log(log\sqrt{{x}^{2}+1})} $ con C.E. $ $({0};{1}]$ $

applicando i limiti mi spunta un A.O. Y=0 ; funzione STRETT.CRESC. E CONVESSA

poi ho studiato quando $ ${x} \geq {1} $ con C.E. è $ $[{1};+{\infty})$ $

applicando i limiti mi spunta un A.V. X=0 ; funzione STRETT.DECRESC. E CONVESSA

inoltre il punto 1 risulta di Minimo Assoluto poichè $ $f(1) (valore finito) \leq f(0) (+{\infty})$ $

tutto ciò che ho scritto vi risulta ???

$ \displaystyle \ |\ln \ln \sqrt {x^2+1}|= \left\{ \begin{array}{rl} \ln \ln \sqrt {x^2+1} & \mbox{per } \ln \sqrt {x^2+1} > 1 \\ -\ln \ln \sqrt {x^2+1} & \mbox{per } 0<\ln \sqrt {x^2+1}<1 \end{array} \right. $

cmq è più semplice studiare la funzione senza valore assoluto infatti:
1)$ \ln \ln \sqrt {x^2+1} $ è pari quindi simmetrica rispetto all'asse y;
2)ha per dominio $ D\equiv\mathbb R-\{0\} $ ossia $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $;
3)interseca l'asse delle x nei punti $ x= -\sqrt{e^2-1} $ e $ x= \sqrt{e^2-1} $;
4)i limiti per $ \pm\infty $ tendono a $ \pm\infty $ per zero tende a $ -\infty $ è giustamente $ y=0 $ è un A.V.;
5)studiando la derivata prima si ha:
$ \stackrel{------}{\searrow}0 $$ \stackrel{++++++}{\nearrow} $
la funzione risulta decrescente$ \searrow $ per x minore di zero mentre cresce $ \nearrow $ per x maggiore di zero;
6)per quanto riguarda la derivata seconda la funzione dovrebbe volgere sempre la concavità verso il basso.
Terminato lo studio di $ \ln \ln \sqrt {x^2+1} $ basta ribaltare i rami di curva che stanno sotto l'asse x per ottenere il grafico di $ |\ln \ln \sqrt {x^2+1}| $

Mi auguro di non aver commesso errori ( ) e che quello che ho scritto sia corretto in caso ditemi dove ho sbagliato che provvederò alla correzione...

ciao Apocalisse non ho capito una cosa:
se studiamo la funzione per x>1 perchè il C.E. è $ $(-{\infty};{0}){U}({0};+{\infty}) $ non dovrebbe essere $ $(1;+{\infty}) $

dove continuo a sbagliare

Fai attenzione.... ....! leggi bene quello che ti ho scritto all'inizio della prima risposta... in questo caso hai in valore assoluto una funzione composta(logaritmo del logaritmo!): quindi la funzione vale f(x) per l'argomento del logaritmo maggiore di 1( ossia per $ \ln \sqrt {x^2+1} > 1 $) mentre vale -f(x) per l'argomento del logaritmo compreso tra 0 e 1 . Capito? e poi il dominio è dato $ \ln \sqrt {x^2+1}>0 $ cioè l'argomento del logaritmo maggiore di 0 e questa è una disequazione sempre valida tranne per $ x=0 $, mentre sulla radice non c'è niente da dire perché il suo argomento è una quantità sempre maggiore di zero. Per questo il dominio è $ D\equiv\mathbb R-\{0\} $. Cmq per studiare agevolmente questa funzione ti conviene seguire la strada che ti ho suggerito nel messaggio precedente...spero che ti sia stato d'aiuto se c'è qualcosa che ancora non ti è chiaro chiedi pure....ciao !!