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Rieccomi con un nuovo problema... e qui ci capisco ben poco.. visto che tutto mi è più chiaro con la risoluziuone di alcuni esercizi ne propongo immediatamente uno:

Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale $ \displaystyle\int_\gamma F^\rightarrow*dx^\rightarrow $ dove $ F^\rightarrow=xy i^\rightarrow + (x^2 + y^2)j^\rightarrow $ e $ \gamma $ è l'arco di curva di equazione $ x=2cos\tau $, $ y=3sin\tau $ con $ 0 \le \tau \le \displaystyle\frac{\pi}{2} $


Io ho inziato ( e poi concluso ) così:
$ \displaystyle\int_\gamma F^\rightarrow*dx^\rightarrow=\int_0^{\frac{\pi}{2}}[2cos\tau*3sin\tau+[(2cos\tau)^2+(3sin\tau)^2]]d\tau $

E' esatto o ho inventato tutto?

Pre scriptum: per i vettori basta usare \vec{}

Allora abbiamo (riscrivo essezialmenre per me: mi e' piu' facile da leggere)
$ \displaystyle \int_\gamma \vec{F}\textrm{d}\vec{s} $ , $ \displaystyle \vec{F} = xy\vec{i} + (x^2+y^2)\vec{j}=(xy,x^2+y^2) $ , $ \displaystyle \gamma : (2\cos{\tau}, 3\sin{\tau}) \; \tau\in [0;\frac{\pi}{2}] $

se ben ricordo (qui i matematici vengano in aiuto) dovrebbe essere pari all'integrale della 2-forma $ ~ xy\textrm{d}x+(x^2+y^2)\textrm{d}y $ lungo $ ~ \gamma $
avendo $ ~ \textrm{d}x=-2\sin{\tau} \textrm{d}\tau \qquad \textrm{d}y = 3\cos{\tau}\textrm{d}\tau $ si ha
$ \displaystyle \int_\gamma \vec{F}\textrm{d}\vec{s} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -12\sin^2{\tau}\cos{\tau}+3(4\cos^2{\tau}+9\sin^2{\tau})\cos{\tau} \right]\textrm{d}\tau $
$ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 12\textrm{d}\sin{\tau} + 3\textrm{d}\sin^3{\tau} \right] $
spero vivamente che qualcuno piu' fresco dia conferma o smentita

Anche se non sono un matematico mi sembra che sia tutto corretto SkZ... e svolgendo i calcoli ottengo come risultato 13 sempre se non ho commesso errori. Cmq Sosuke tu hai solo dimenticato il dx e il dy....

invece un errore c'era (un 3 di troppo)
$ \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ 12\textrm{d}(\sin{\tau}) + \textrm{d}(\sin^3{\tau}) \right] $

altro metodo, piu' figo:
consideri $ ~ \Gamma $ circuito chiuso in $ ~\mathbb{R} $ composto da $ ~ \gamma\times \{0\} $ e da i due segmenti di assi $ ~ \{0\}\times [0;3]\times \{0\}\quad [0;2]\times \{0\}\times \{0\} $ (in pratica il "quarto" di ellisse)
si calcola $ ~ \vec{F}=(xy,x^2+y^2,0) $ (che e' in pratica la stessa cosa) su $ ~ \Gamma $ che e' pari al suo rotore calcolato sull'area racchiusa dal cammino chiuso ($ ~ \Gamma=\partial S $)
$ \displaystyle \int_{\Gamma=\partial S} \vec{F}\textrm{d}\vec{s} = \int_S \nabla\times\vec{F}\textrm{d}\vec{\sigma} $, ove $ \displaystyle \nabla\times\vec{F}= (0, 0, \frac{\textrm{d}F_y}{\textrm{d}x} - \frac{\textrm{d}F_x}{\textrm{d}y}) =(0,0, x) $
lungo l'asse delle x $ ~ \vec{F}\textrm{d}\vec{s}=0 $ mentre lungo l'asse delle y $ ~ \vec{F}\textrm{d}\vec{s}=y^2 $
fatti i calcoli viene
$ \displaystyle \int_\gamma \vec{F}\textrm{d}\vec{s} -9=4 $

PS: $ \textrm{d}\vec{\sigma} $ infinitesimo di superficie e' diretto perpendicolarmente alla superficie e il verso e' dato dalla regola della mano destra. Il valore del modulo e' pari ovviamente all'area dell'infinitesimo di superficie.

Penso che utilizzerò il metodo meno figo


Comunque vi ringrazio... dovrebbe essermi tutto chiaro... forse avrò qualche problema con il calcolo di $ dx $ e di $ dy $ (che si dovrebbero ricavare derivando x e y se ho capito bene)

A me viene $ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(15cos\tau sin^2\tau+12cos^3\tau)d\tau $

Ora dovrei riuscire a integrare...

Allora calcolo l'integrale indefinito che dovrebbe essere come segue:
$ 15\displaystyle\int cos \tau sin^2 \tau d\tau+ 12\int cos^3 \tau d\tau $

che onestamente non so integrare... devo mischiare l'integrazione persostituzione con quella per parti?

$ ~ \cos^2{x}=1-\sin^2{x} \qquad \textrm{d}(\sin{x}) = \cos{x}\textrm{d}x $

$ 15\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos \tau sin^2 \tau d\tau $ questo è immediato infatti è della forma $ \displaystyle \int [f(x)]^{\alpha}f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} $e otteniamo quindi
$ \displaystyle 15\left[ \frac{ \sin^3\tau}{3}\right] _0^{\frac{\pi}{2}}=5 $ il secondo invece: $ \displaystyle 12\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^3 \tau d\tau $ è l'integrale di una potenza dispari di coseno che in questo caso si integra facilmente manipolando in maniera opportuna la funzione integranda. Si ha infatti che:
$ \displastyle 12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 \tau d\tau=12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \tau \cos \tau d\tau $ ora si scrive $ \cos^2\tau $ in funzione del seno:
$ 12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2 \tau)(\cos \tau)d\tau $ effettuando la moltiplicazione e scindendo l'integrale in due applicando la proprietà della somma otteniamo:
$ \displaystyle 12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \tau d\tau=12 $ mentre $ \displaystyle -12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 \tau\cos \tau d\tau=-4 $
Sommando tutti i risultati $ 5+12-4=13 $ che è il risultato finale.

Mi auguro che i calcoli siano corretti e di non aver fatto confusione....

ti e' scappato un 12: l'ultimo integrale fa -4, non $ -\frac{1}{3} $

Grazie SkZ ho corretto.... in effetti mi ero proprio dimenticato di moltiplicare per il -12....grazie ancora

Grazie... penso di aver capito.... in caso contrario... se si presenta un dubbio vi faccio sapere..

Ho provato a fare qualche esercizio ma ho forti dubbi sulla loro correttezza:
$ \displaystyle\int_\gamma \vec{dF}*\vec{dx} $ con $ \displaystyle\vec{F}=cos(x+y)\vec{i}+3cos(y)(sin(x))^2\vec{j}+\frac{1}{2}e^x\vec{k} $ e $ \gamma $ l'arco di curva di equazioni $ x=y=\tau $, $ z = \tau^2 $ con $ 0\le\tau\le\frac{\pi}{2} $


ecco quello che ho fatto io:
$ \displaystyle\vec{F}=(cos(x+y),3 cos(y)(sin(x))^2,\frac{1}{2}e^x) $, $ \gamma:(\tau,\tau,\tau^2) $ con $ \tau \in [0,\frac{\pi}{2}] $

Scrivo l'integrale:

$ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}[cos(\tau+\tau)+3cos(\tau)(sin(\tau))^2+\frac{1}{2}e^\tau]d\tau = $ ....

etc etc...


I calcoli non mi intewressano... il problema sta nei primi passi... grazie ancora

ti sei dimenticato che $ ~\textrm{d}\vec{s}=\textrm{d}x\vec{i}+\textrm{d}y\vec{j}+ \textrm{d}z\vec{k} = (\vec{i}+\vec{j}+2\tau\vec{k})\textrm{d}\tau $