OliForum Matematico

Salve a tutti !!
Spero che sia la sezione giusta(ho pensato di postare qui perchè si parla di analisi...).
Cmq...

Sfogliando un libro di analisi ho trovato la seguente affermazione(trascrivo):
"Per ragioni di semplicità, definiremo il seno e il coseno di un numero reale basandoci su considerazioni intuitive di natura geometrica. Avvertiamo peraltro che in Analisi è possibile, utilizzando strumenti di carattere più elevato, definire il seno e il coseno di un numero reale in maniera più rigorosa e completamente autonoma dalla Geometria."

Mi chiedo e vi chiedo : in che senso?quali "strumenti di carattere più elevato" bisognerebbe utilizzare per ridefinire le funzioni circolari?perché queste definizioni risulterebbero più rigorose di quelle classiche col cerchio trigonometrico o coi semplici triangoli?

Attendo risposta da voi esperti o anche consigliarmi qualche link(o libro) in modo da poter soddisfare la mia curiosità!

Grazie in anticipo

beh, la risposta è abbastanza semplice: non esiste una definizione semplice di "angolo", così come non esiste una definizione semplice di "lunghezza" o di "area" (concetti da cui il concetto di "angolo" sostanzialmente discende).

per inciso, la definizione del seno è del coseno è data in termini di equazioni differenziali: il seno è la funzione (unica per svariate ottime ragioni) che risolve il seguente problema di cauchy:
(*) $ \begin{cases}y(0) = 0 \\ y'(0) = 1 \\ y'' = -y\end{cases} $
il coseno, invece, è definito come la derivata del seno.
da (*) si ricavano tutte le interessanti proprietà del seno e del coseno: la somma dei quadrati fa sempre $ 1 $, sono periodiche di periodo $ 2\pi $, che la funzione $ p: [0,2\pi) \to S^1 $ (la circonferenza unitaria, ndr) $ x \mapsto (\text{sen }x, \cos x) $ è iniettiva, e tutte le altre simpatiche amenità che non sto a ricordarvi...

da questo punto in poi, il rigore se ne va del tutto a p***e, sia chiaro...
naturalmente, dal fatto che la $ p $ sia bigettiva (per continuità, sostanzialmente), segue che il seno e il coseno parametrizzano abbastanza bene la circonferenza, ecc. ecc.
infine, siccome $ \frac{d^2}{dx^2}e^{\omega x} = \omega^2 e^{\omega x} $, siccome il coseno soddisfa la stessa equazione differenziale del seno (con diverse condizioni iniziali, ovvio), si può ragionevolmente porre (anche dando un'occhiata alle serie) $ e^{ix} = \cos x + i\text{sen }x $

wow!!
Grazie ma_go per l'esauriente spiegazione....non ci sarei mai arrivato solo...ora capisco quali sono questi strumenti di carattere elevato...le equazioni differenziali!
Solo una cosa mi è poco chiara. Credo che questa ridefinizione in termini più sofisticati e precisi delle funzioni circolari sia giustamente "piuttosto recente" rispetto alla "classica" che si può far risalire già al periodo ellenistico( mi viene in mente ad esempio a Tolomeo col suo Almagesto che conteneva già tavole trigonometriche). Ma il motivo? sono state ridefinite solo perchè la definizione classica poggia su concetti come angolo, lunghezza ecc. che non hanno una definizione semplice... e così?

Hmm .. sì, oppure si può rimanere a livello di conoscenze del primo anno e spenderci un po' più di tempo :

un gruppo è un insieme G, dotato di una operazione * che sia associativa, per la quale esista un elemento neutro e detto identità di G e per la quale ogni elemento di G abbia un inverso in G.

un omomorfismo tra gruppi G,H è una applicazione f:G-->H tale che $ f(g\star_G g')=f(g)\star_H f(g') $, $ f(e_G)=e_H $, $ f(g^{-1})=f(g)^{-1} $
(dove nell'ultima l'operazione di inverso a sinistra è nel gruppo G, a destra è nel gruppo H).

$ \mathbb{R} $ è un gruppo rispetto alla somma, $ \mathbb{R}^+ $ è un gruppo rispetto alla moltiplicazione, $ \mathbb{C} $ è un gruppo rispetto alla somma, $ \mathbb{C}^* $ rispetto alla moltiplicazione, $ \mathbb{S}^1=\{z\in\mathbb{C}\vert |z|=1\} $ è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

Si possono dimostrare i seguenti fatti :
1) fissato a>0 reale, esiste un unico omomorfismo continuo del gruppo additivo dei reali nel gruppo moltiplicativo dei reali positivi che manda 1 in a. Inoltre, se $ a\neq1 $, tale omomorfismo è bigettivo e la sua inversa è ancora un omomorfismo (è un isomorfismo).
2)I reali con l'addizione e i numeri complessi di norma 1 con la moltiplicazione non sono isomorfi.
3)Ogni omomorfismo continuo da R in S^1, se non è banale, è surgettivo
4)Ogni omomorfismo continuo non banale da R in S^1 è periodico e i suoi periodi sono multipli di un numero reale positivo.
5)Per ogni numero reale positivo a, esiste un solo omomorfismo continuo $ h_a:\mathbb{R}\to\mathbb{S}^1 $ tale che $ h_a(a/4)=i $.
6)Per ogni omomorfismo continuo $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}^* $ esiste in C il limite $ \displaystyle{\lim_{t\to0}\frac{f(t)-1}{t}} $
7)Vale $ \displaystyle{\lim_{t\to 0}\frac{h_a(t)-1}{t}=\frac{2\pi i}{a}} $
(h_a è dal punto 5).
La parte reale e la parte immaginaria della funzione $ h_{2\pi} $ (ovvero l'unico a per cui il limite faccia i) si dicono seno e coseno.

Ovviamente tutte queste cose andrebbero dimostrare, ma uno studente del primo anno di matematica dovrebbe avere tutti gli strumenti; comunque, le dimostrazioni non sono impossibili, solo un pochino lunghe e magari tecniche.

Beh, il fatto è questo : tu puoi tranquillamente definire seno e coseno di un angolo, come ente geometrico. Poi però per fare i conti ti serve associare a questo angolo un numero reale e questo comporta il misurare gli angoli. L'unico modo sensato e semplice è quello di farlo rapportando lunghezze o aree, una delle quali di solito è la lunghezza di un segmento o l'area di un triangolo e l'altra è la lunghezza di un arco o l'area di una circonferenza.
Nella trattazione euclidea, purtroppo, cosa siano la lunghezza di un arco o l'area di un cerchio non è chiaro... ci sono formule per calcolarle, ma non c'è una definizione precisa di lunghezza di qualcosa di non rettilineo o area di qualcosa di non poligonale; inoltre gli "intuitivi" ragionamenti al limite (i poligoni approssimano la circonferenza) non hanno senso perchè prima dovresti dire cosa vuol dire che una figura piana "approssima" un'altra, senza tirare in ballo le aree.

Quindi la goniometria come la si studia solitamente si basa su concetti dal punto di vista geometrico "intuitivi o poco precisi" come la "lunghezza di qualcosa di non rettilineo"...che in realtà trovano la giusta definizione solo con l'ausilio degli strumenti dell'analisi come il concetto di limite...Da qui la ridefinizione più precisa di seno e coseno...ci sono?

ps
grazie mille EvaristeG!!! !!super gentile!