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dato un insieme $ X $ e il suo gruppo di permutazioni $ G:=S_X $, determinare l'indice del gruppo derivato $ [G:DG] $.

Adoro i problemi di algebra...
Parzialmente OT: cosa c'entra col titolo? Adesso mi metto a risolverlo, magari lo scopro...

Penso che quello che tu chiami derivato sia il gruppo commutatore di $ G $
Dividiamolo in due casi: $ G $ finito e $ G $ non finito.

Nel primo caso si tratta di studiare il gruppo $ \mathfrak{S}_n $ ed il suo derivato, con $ n=|G| $ che in questo caso e' $ \mathfrak{A}_n $, ne consegue che:
$ \displaystyle [\mathfrak{S}_n:D\mathfrak{S}_n]=[\mathfrak{S}_n:\mathfrak{A}_n]=2 $

Sia ora $ G $ non finito, allora il suo gruppo di permutazioni e' isomorfo, direi coincidente per costruzione, a $ Inv(G,G) $ ovvero il gruppo delle automappe di $ G $. Per ora direi di considereare $ |G|=|\mathbb{N}| $, siccome $ Inv(\mathbb{N},\mathbb{N}) $ non e' abeliano, il suo derivato non puo' essere banale e siccome dubito fortemente che sia isomorfo ad un gruppo di Mathieu o al Monster group, cerchero' di dimostrare che e' $ Inv(\mathbb{N},\mathbb{N}) $. Sappiamo che $ Inv(\mathbb{N},\mathbb{N}) $, che per comodita' chiameremo $ I(\mathbb{N}) $, non e' numerabile (procedimento diagonale di Cantor); adesso abbiamo i seguenti casi:
1. Sto rendendo il problema piu' difficile di quello che e'
2. Non serve considerare il caso infinitoù
3. Mancano degli assunti al problema
I tre enunciati sono equivalenti al seguente:
4. Sono troppo stanco ed ho troppa fame per continuare.

allora, il gruppo derivato e' il gruppo commutatore, si'...

non mi e' cosi' ovvio che tutti gli automorfismi di $ G $ siano interni..
comunque.. e' bello vedere gente (=catraga) che pensa ai miei problemi...
posso dirti che si fa molto "con le mani", secondo me.. e magari le tue intuizioni sono giuste, chissa'...

ps. non mancano assunti..