INTEGRALE: AIUTO

[pippo86]

Potreste dirmi se $ \int_0^i xe^-kx dx=1/k^2 $? dove $ i $ sta per più inf e $ -kx $ rappresenta l'esponente della $ e $. Scusate la cattiva scrittura ma più di una cifra o lettera a quanto pare sembra che non si possa scrivere all'esponente.

[hydro]

A me risulta giusto. Comunque + infinito si indica con + \infty e quando metti gli esponenti devi metterli dentro a parentesi graffe, tipo e^{-kx}. Prova anche a usare il comando \displaystyle prima dell'integrale, guarda come migliora...

$ \displaystyle \int_{0}^{+\infty}xe^{-kx}dx $

[SkZ]

un consiglio: se scrivi brevi formule e non occorre il \displystyle , metti un ~ dopo il tag tex

Codice: Seleziona tutto

 [tex] ~  

e termina la formula con uno spazio che cosi' si rimedia all'odioso taglio delle formule
prima:$ x $
dopo: $ ~ x $

ps: l'integrale e' giusto

[Sosuke]

Qualcuno può darmi l'input iniziale per risolvere questo integrale ?

$ \displaystyle\int \frac{x-1}{(x^2-2x+2)^2}dx $

Ho provato a scomporre in qualche maniera il deniìominatore ma senza successo... ho cercato di impostare il problema con A, B, C (non ricordo come si chiama quel tipo di integrazione) ma non ci sono riuscito...

come devo comportarmi?

[MdF]

Qualcuno può darmi l'input iniziale per risolvere questo integrale ?

$ \displaystyle\int \frac{x-1}{(x^2-2x+2)^2}dx $

Ho provato a scomporre in qualche maniera il deniìominatore ma senza successo... ho cercato di impostare il problema con A, B, C (non ricordo come si chiama quel tipo di integrazione) ma non ci sono riuscito...

come devo comportarmi?

Un buon metodo generale è verificare che il numeratore sia la derivata del denominatore, così l'integrale è il logaritmo del denominatore. In questo caso non mi pare proprio che lo sia (sperando di non dire fregnacce): se, però, il denominatore non fosse al quadrato, la sua derivata sarebbe $ $ 2(x-1) $ $ e con gli opportuni accorgimenti integreresti agevolmente.
Al contrario, poiché si tratta di un trinomio non scomponibile ma elevato a 2, devi usare sempre il metodo dei fratti semplici (A, B, C...) applicato nella maniera opportuna:
$ $ \frac{x-1}{(x^2-2x+2)^2} = \frac{Ax+B}{(x^2-2x+2)^2}+\frac{Cx+D}{(x^2-2x+2)^1} $ $
Lavora sul secondo membro, ottieni le quattro costanti per il principio di identità dei polinomi e integra ciò che ne risulta.

[Apocalisse86]

E' immediato... moltiplica e dividi per 2 e ottieni
$ \displastyle \int \frac{2}{2} \frac{x-1}{{(x^2-2x+2)}^{2}}dx $ togli $ \frac {1}{2} $ fuori e ottieni $ \displaystyle \frac{1}{2} \int (2x-2)(x^2-2x+2)^{-2} dx $ che è immediato della forma $ \displaystyle \int f'(x)[f(x)]^{\alpha}dx $

capito...? non è difficile cmq il metodo a cui ti riferivi tu con A e B ecc. è quello della scomposizione in fratti semplici....! ......ciao!!

[MdF]

E' immediato... moltiplica e dividi per 2 e ottieni
$ \displastyle \int \frac{2}{2} \frac{x-1}{{x^2-2x+2}^2}dx $ togli $ \frac {1}{2} $ fuori e ottieni $ \displaystyle \frac{1}{2} \int (2x-2)(x^2-2x+2)^{-2} dx $ che è immediato della forma $ \displaystyle \int f'(x)[f(x)]^{\alpha}dx $

capito...? non è difficile cmq il metodo a cui ti riferivi tu con A e B ecc. è quello della scomposizione in fratti semplici....! ......ciao!!

C'è un coefficiente $ $2$ $ che non mi torna.

[Apocalisse86]

C'è un coefficiente $ $2$ $ che non mi torna.

Dove? quale? ho fatto una correzione ma perchè avevo sbagliato in latex a scrivere il quadrato al denominatore... ma era un errore di scrittura...

[MdF]

Non mi riferivo alla parentesi omessa (dimenticanza), quanto piuttosto alla derivata del denominatore che mi puzza possa essere quella da te citata.
Secondo me:
$ $ D \left[ \frac{1}{(x^2-2x+2)^2} \right]=-2(2x-2)=-4(x-1) $ $ o simile.
Non ritrovo niente del genere nella soluzione data, a patto che abbia derivato bene.

[Sosuke]

ma la derivata di $ (x^2 - 2x + 2)^{-2} $ non è:

$ -2(x^2 - 2x + 2)^{-3}(2x-2) $

????

[Apocalisse86]

Ragazzi non dovete derivare con il quadrato! Se l'integrale, moltiplicato e diviso per 2 come ho scritto nella risposta di prima, lo scrivete così : $ \displaystyle \frac{1}{2} \int (2x-2)(x^2-2x+2)^{-2} dx $ si vede che è della forma$ \displaystyle \int f'(x)[f(x)]^{\alpha}dx=\frac{{f(x)}^{\alpha+1}}{\alpha+1} $ dove nel nostro caso $ f'(x)=2x-2 $ , $ f(x)=x^2-2x+2 $ e $ \alpha=-2 $ capito? $ D(x^2-2x+2)=2x-2 $ per questo motivo è un integrale immediato....

[MdF]

Caspita, è vero, chiedo scusa.

[Sosuke]

Ahhh già... pure a me ha intrippato quell'esponente