OliForum Matematico

Dato un primo $ p $ congruo a 2 mod 3, dimostrare che esistono al massimo $ p-1 $ coppie di interi $ (m,n) $ con $ 0<m,n<p $ tali che $ p $ divida $ n^3-m^2+1 $.

ps: questo problema -abba tecnico- e' rivolto in particolare agli stagisti e magari a quelli non troppo esperti... quindi, a voi la parola, per primi!

Allora rispondo in qualità di inesperto stagista di mezza classifica (in invisibile perché è belluccio):

(p-1,3)=1 di conseguenza n^3 assume p-1 valori distinti, per cui non esistono 2 valori non congrui mod p tali che i loro cubi siano congrui mod p
Quindi per ogni m^2 esiste al più un valore n tale che p|n^3-m^2+1
Essendo i valori m possibili p-1, la tesi segue facilmente.

No piever m'hai preceduto di 10 minuti
La scrivo comunque così per allenamento e rilancio (sperando di non dire cavolate): al massimo (p-3) coppie
Sia p=3k+2; dato che (3,3k+1)=1, $ n^3 $ assume tutti i possibili valori modulo p, e quindi ognuno una e una volta soltanto; perciò, per ogni m esisterà un n che soddisfi la relazione ma tale n potrebbe essere 0; nel migliore dei casi (quando n non è mai "costretto" ad essere 0) si avranno perciò p-1 coppie, corrispondenti a tutti i valori di m. Tuttavia, dato che per m=1 e m=p-1 si deve avere n=0, due coppie sono già da escludere

Perfect!!!
Il punto interessante e' in pratica che i residui cubici sono tutti i residui mod p perche' $ (p-1, 3)=1 $... benissimo entrambi!

Visto che l'argomento si stava ingrossando, ho tranciato il thread e ho messo la parte sui residui m-esimi mod p qui.

Chiedo un paio di cose che non mi tornano...


1)Avete pensato che $ m^2 $ assuma tutti i p-1 valori perchè bisognava considerare i valori che assume al massimo, visto che il problema chiedeva questo? Altrimenti, in generale, non dovrebbe assumere $ \frac{p+1}{2} $ valori?

2)

(p-1,3)=1 di conseguenza n^3 assume p-1 valori distinti, per cui non esistono 2 valori non congrui mod p tali che i loro cubi siano congrui mod p

Perchè assume p-1 valori distinti e non p valori distinti?


3)

e rilancio (sperando di non dire cavolate): al massimo (p-3) coppie

Qualcosa non va, perchè così il caso p=2 sparisce, mentre penso vada considerato

1) $ m^2 $ assume in effetti $ \frac{p+1}{2} $ valori ma questo non ci cambia molto, visto che poi scegliamo n di conseguenza...

2 e 3) lo 0 è escluso... e questo risponde sia alla prima parte, sia alla seconda, nel senso che per p=2 non esistono coppie. L'errore (p-3 invece che p-2) deriva solo dal fatto che per p=2 m=1 e m=p-1 coincidono.

Ciao!