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IMO 1994/2
Inviato: 30 set 2006, 08:43
da pi_greco_quadro
Sia $ ABC $ un triangolo isoscele dove $ AB=AC $ e sia $ M $ il punto medio di $ BC $. Sia poi $ O $ il punto sulla retta $ AM $ tale che $ OB\perp AB $. Sia $ Q $ un punto su $ BC $ diverso da $ B $ e $ C $ variabile. Siano poi $ E $ ed $ F $ su $ AB $ e $ AC $ tali che $ E,Q,F $ siano collineari. Si dimostri che $ OQ $ e` perpendicolare ad $ EF $ se e solo se $ EQ=QF $
Inviato: 03 ott 2006, 15:12
da edriv
(scusate nella figura al posto della D dovrebbe esserci una O)
Posto in bianco perchè non bisogna proprio farsi spaventare dal fatto che sia un IMO... questo è solo angle chasing!
Intanto: OC è perpendicolare ad AC. Infatti ABC è simmetrico rispetto all'asse di BC, e O sta proprio su quell'ass, quindi per simmetria...
SE OQ è perpendicolare ad EF. Allora il quadrilatero OQCF è ciclico, perchè ^OQC = ^OCF = 90°. Allora ^QFO = ^QCO. Allo stesso modo ^QEO = ^QBO. Ma per simmetria ^QBO = ^QCO, quindi ^QFO = ^QEO. Allora i triangoli QEO e QFO sono congruenti (angolo retto, angolo, lato in comune) e QE = QF.
SE QE = QF, bisogna essere un po' piu' furbi. Chiamo M il punto su EF tale che OM è perpendicolare ad EF. Adesso posso rifare esattamente tutto il discorso di prima per concludere che ME = MF. Ma allora M coincide con Q!