OliForum Matematico

allora, sia $ MCD(ord_n\ x,\ ord_n\ y)=d $ e $ mcm(ord_n\ x,\ ord_n\ y)=m $ dimostrare che

$ \displaystyle \frac{m}{d}|ord_n\ (xy)|m $ questo problema ce l'ha dato bobo alla lezione avanzata... non è impossibile però ho trovato una soluzione figa...

mmmmh non ho capito bene cosa bisogna dimostrare... Saresti così gentile da spiegarmelo?

se $ ord\ x=a=da_1 $ e $ ord\ y=b=db_1 $ con $ (a_1,\ b_1)=1 $ allora

$ \displaystyle a_1b_1 $ divide $ ord\ xy $ che a sua volta divide $ da_1b_1 $

SCUSATE MI SONO ACCORTO ADESSO CHE NEL PRIMO MESSAGGIO AVEVO CHIAMATO DUE COSE CON LA STESSA LETTERA... CORRETTO

Poniamo, per semplificare la notazione, $ ord_n \ x =a $ e $ ord_n\ y =b $

Poniamo anche $ aj=bk=mcm(a,b) $

Abbiamo che $ (xy)^{mcm(a,b)}=(x^a)^j*(y^b)^k \equiv 1 \pmod n $

Di conseguenza $ ord_n\ (xy) | mcm(a,b) $

Resta da dimostrare che $ mcm(a,b)|d* ord_n\ (xy) $

Poniamo $ ord_n\ (xy) =c $

Abbiamo che $ x^c \equiv y^{-c} \equiv t \pmod n $

Abbiamo che $ (x^c)^a=(x^a)^c \equiv 1 \pmod n $ e che $ (y^{-c})^b=(y^b)^{-c} \equiv 1 \pmod n $

Quindi $ t^a \equiv t^b \equiv 1 \pmod n $

Da cui si ricava che $ ord_n\ (t) | d $

Poniamo $ ord_n\ (t) =i $

Abbiamo che $ a|c*i $ e che $ b|c*i $

Dunque $ a|c*d $ e $ b|c*d $ di conseguenza $ mcm(a,b)|c*d $

QED