OliForum Matematico

Il centro di una circonferenza giace sul lato AB di un quadrilatero ciclico ABCD. Gli altri lati, BC, CD, DA, sono tangenti a questa circonferenza. Dimostrare che AB = AD + BC.

Io ci ho perso una giornata, per poi vedere una bella soluzione di due righe, e quindi, per vendetta, lo posto qui

In invisibile:

faccio il simmetrico del quadrilatero rispetto ad AB e ottengo un esagono circoscritto alla circonferenza. Chiamiamo r il raggio della circonferenza. Possiamo calcolare l'area dell'esagono come somma delle aree di 6 triangolini uguali a coppie o come la somma di 2 trapezi congruenti. Nel primo caso l'area è (BC+CD+DA)r
Nel secondo caso l'area è (AB+CD)r
Quindi (AB+CD)r=(BC+CD+DA)r da cui si ricava che AB+CD=BC+CD+DA che semplificato diventa la tesi

EDIT: mi sono accorto ora di aver completamente tralasciato un'ipotesi...

Ehm, non è detto che quelli siano proprio dei trapezi (chi ha detto che AB e CD sono paralleli?)

metto una toppa di seta (wow!) al lavoro di piever...

dimostriamo che se ABCD è ciclico allora $ |ABCD|=\frac{1}{2}\cdot (AB+CD)r $

prolungo AD e BC in modo che si incontrino in E (siccome E può essere dalla stessa parte di AB rispetto a CD o dall'altra io suppongo che sia dalla stessa e i problemi di configurazione ve li risolvete da soli, solo che l'incentro diventa un excentro)

a questo punto la circonferenza tangente ai 3 lati è l'incirconferenza di CDE... come si vede bene con considerqazioni sugli angoli CDE e ABE sono simili... adesso se tracciamo la parallela a CD per l'incentro avremo che anche il nuovo triangolo dato da E ed i due punti intercettai su ED e EC dalla parallela è simile a CDE e poiché la sua bisettrice dell'angolo in E è la stesa di ABE deve essere congruente ad esso...

quindi il segmento di parallela intercettato da ED e EC è lungo AB e l'area di ABCD è uguale all'area del trapezio che si è venuto a formare, e che ha area esattamente (AB+CD)r/2

CVD

Ok, bella.
L'idea era che, guardando gli angoli ECD ed EDC, ci si accorgeva che se fossero scambiati, si avrebbe proprio una parallela, quindi bastava fare il simmetrico rispetto alla bisettrice e si trovava qualcosa di utile.