OliForum Matematico

Trovare sup e inf di:

$ \sin{n} $ con n appartenente agli interi positivi

In pratica è facile verificare che 1 sia maggiorante di $ \sin{n} $ non meno facile è vedere che esiste sempre un $ n $ tale che $ \sin{n}>1-k $ per ogni $ k>0 $ appertenente a R.

Qualcuno riesce a dimostralo anche in altri modi?

Irrazionalità di pigreco e continuità di sin(x).

e cioè? con n naturale...

Per l'irrazionalità di pigreco, esistono numeri della forma 2n*pigreco+pigreco/2 arbitrariamente vicini ad un intero (pigeonhole). Per la continuità di sin(x), il seno di tali interi si avvicina arbitrariamente a 1.
A voi i dettagli, se non siete convinti che funzioni.

non credo che questo post fosse stato scritto per gente che ha fatto qualche annetto di università (essendo standard), né soprattutto per avere una risposta da uno dei suddetti in addirittura 16 minuti.
il comportamento mi ricorda quello di hitleuler..

Vai a fare l'avvocato delle matricole nella vita reale, ti riesce meglio.
Era in MNE ed era a quanto mi sembra una richiesta di aiuto per un problema. Ergo ho risposto con un hint, ed alla subitanea richiesta di chiarimenti ho risposto ancora.
Se c'è dell'altro su cui vuoi dibattere, maghetto, sono a tua disposizione (in qualità di amministratore, perché in qualità di utente ti prenderei a pedate in culo).

Buoni ... su.

Allora, riscrivo semplicemente gli hint di Mind in maniera più estesa:
0) Dimostrare che per ogni reale $ \alpha $ e per ogni naturale positivo $ n $, esistono interi a,b con $ 1\le a\le n $ tali che
$ |a\alpha-b|<\dfrac{1}{n+1} $
1) Posto $ \alpha=2\pi $, applicare il punto precedente al problema, leggermente variato, dimostrando che per ogni n esistono a,b tali che
$ \left|\left(a+\dfrac{1}{4}\right)2\pi-b\right|<\dfrac{1}{n+1} $
2)Usando la continuità del seno, mostrare che per ogni $ k\geq0 $, esiste $ n\geq0 $ tale che
$ |2a\pi+\pi/2-b|<\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow |\sin(b)-1|<\dfrac{1}{k+1} $


NB : il punto 0) è lì solo per bellezza ... insomma, il teorema di Dirichlet andrebbe conosicuto.

@Mind

Come applichi il pigeonhole?

...potresti anche sforzarti di farlo tu ... cmq prova a considerare le parti frazionarie di $ (2\pi+\pi/2),(4\pi+\pi/2),\ldots,(2n\pi+\pi/2) $. Questi sono i piccioni ... ora prova ad andare avanti.

Sarò stupido, avrò poca dimistichezza con il pigeonhole ma ci ho provato e non ci riesco potresti farmi vedere cosa avrei dovuto fare?
Evariste ti assicuro che la mia non è pigrizia è forse incapacità

Allora ....
0) Considera $ \{\alpha\},\{2\alpha\},\ldots,\{n\alpha\} $ e dividi l'intervallo [0,1[ in n+1 parti uguali. Se una delle n parti frazionarie cade in [0,1/(n+1)[ o in [n/(n+1), 1[, allora hai che esiste b tale che $ |a\alpha-b|<1/(n+1) $; altrimenti esistono due parti frazionarie nello stesso intervallino per i piccioni (hai n parti frazionarie e n+1-2=n-1 intervallini se escludi gli estremi) e dunque
$ |a_1\alpha-a_2\alpha-b|<1/(n+1) $.

1) Rifai la stessa cosa di sopra, considerando però, invece delle parti frazionarie, la seguente funzione : $ [x]_{\pi/2}=\max\{n-\pi/2\vert n-\pi/2<x,\ n\in\mathbb{Z}\} $ e quindi $ \{x\}_{\pi/2}=x-[x]_{\pi/2} $.

2) E' la definizione di continuità.