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Siano date tre circonferenze mutuamente secantisi $ \Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 $; siano $ A,D $ i punti di intersezione tra $ \Gamma_1,\Gamma_2 $, $ B,E $ i punti di intersezione tra $ \Gamma_2,\Gamma_3 $, $ C,F $ i punti di intersezione tra $ \Gamma_3,\Gamma_1 $, di modo che
i sei punti determinino un esagono non intrecciato. Dimostrare che vale

$ \displaystyle \frac{AF\cdot BD\cdot CE}{FB\cdot DC\cdot EA}=1 $

La prima cosa che viene in mente guardando la tesi è Ceva. Ma per applicare Ceva ci serve una concorrenza. E quale concorrenza è più evidente in tre circonferenze che si intersecano, se non quella degli assi radicali (AD, BE, CF) ?

Però Ceva non funziona.

No! Ricordiamo che c'è anche un altro Ceva, quello trigonometrico, e questo funziona!

Indicherò con $ ~ \angle AF $ la misura dell'angolo alla circonferenza dell'arco AF sull'unica circonferenza a cui appartengono sia A sia F.
Possiamo ricavare la lunghezza di AF come $ ~ 2AF=r_1 \sin \angle AF $ e allo stesso modo la lunghezza di tutte le corde che compaiono nel problema (cambiando anche i raggi per cui moltiplicare).
Sostituendo nella formula che dobbiamo dimostrare, cancelliamo da sopra e da sotto $ r_1r_2r_3 $ e resta:

$ \displaystyle \frac {\sin \angle AF \sin \angle BD \sin \angle CE} {\sin \angle FM \sin \angle DC \sin \angle EA} = 1 $.

Ora consideriamo il triangolo ABC, con le ceviane AD, BE, CF che concorrono nel centro radicale. Ecco, se applichiamo la versione trigonometrica di Ceva a questo triangolo, otteniamo proprio quello che volevamo dimostrare.

ok sta bene la tua soluzione... però ne esiste una molto molto più semplice... e senza usare Ceva in nessuna salsa.... cerca solo un po' di triangoli simili e di scriverne appropriatamente i rapporti... ed il gioco è fatto...

Ok, ho fatto un casino, come ho fatto a non vederlo!
Comunque bisogna sempre usare la convergenza degli assi radicali: sia P il centro radicale. Si vede che AFP è simile a CDP, quindi AF/CD = FP/DP
Allo stesso modo: CE/BF = EP/FP, BD/AE = DP/EP.
Moltiplicando, abbiamo la tesi.