OliForum Matematico

There are $ n $ 1's written on a board. At each step we can select two of the numbers on the board and replace them by $ \sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{a + b}} $. We keep applying this operation until there is only one number left. Prove that this number is not less than $ \frac{1}{\sqrt[3]{n}} $.

Non so se è originale, comunque è stato proposto da Liubomir Chiriac per una rivista.

@IMOteam: avete conosciuto i moldavi?

potresti inviare anche il testo in italiano?quello in inglese non mi è chiarissimo. grazie

Su una lavagna ci sono scritti n uni.
Ad ogni passo, scegliamo due numeri a,b sulla lavagna, li cancelliamo e scriviamo al loro posto:
$ \displaystyle \sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{a+b}} $
Andiamo avanti così finchè non resta un solo numero. Dimostrare che questo numero è maggiore uguale di $ \frac 1 {\sqrt[3]n} $ (dove n è sempre il numero di uni presenti all'inizio).

ovvero se ad esempio ho 1000 uni e prendo a=2 e b=2,cancello 4 uni e al loro posto metto 2^(2/3) e così via con a e b arbitrari?[/tex]

girino ha scritto:ovvero se ad esempio ho 1000 uni e prendo a=2 e b=2,cancello 4 uni e al loro posto metto 2^(2/3) e così via con a e b arbitrari?

No.
Sostituisci due numeri, non a+b numeri. Inoltre, il testo dà per scontato che a e b abbiano posizioni distinte (altrimenti falsifichi il claim).

potresti farmi un esempio? grazie

n=5.
All'inizio: 1 1 1 1 1
poi scegliamo a=1, b=1: $ \frac 1 {\sqrt[3]2} $ 1 1 1
scegliamo ancora a=1, b=1: $ \frac 1 {\sqrt[3]2} $ $ \frac 1 {\sqrt[3]2} $ 1
adesso scegliamo a=$ \frac 1 {\sqrt[3]2} $, b=1: fatti i conti, non ho voglia..

grazie, scusa il disturbo