Ellisse Forever

[elianto84]

Abbiamo un'ellisse disegnata su un foglio.
Con riga e compasso vogliamo determinarne i fuochi.
Un premio speciale a chi utilizza il minor numero di oggetti ausiliari.

Una soluzione estremamente inefficiente, per chi vuole trarre spunto:
Preso un qualunque punto P interno all'ellisse è possibile trovare un quadrilatero inscritto nell'ellisse le cui diagonali si intersechino in P. La retta che congiunge le intersezioni dei lati opposti del suddetto quadrilatero è la polare di P rispetto all'ellisse. Preso un altro punto Q interno all'ellisse, e chiamati J e K rispettivamente il polo di PQ (ovvero l'intersezione tra la polare di P e quella di Q) e il punto medio della corda contenente P e Q, la congiungente JK ha la sorprendente proprietà di passare per il centro dell'ellisse (perché?). Di conseguenza l'introduzione di un terzo punto ausiliario R interno all'ellisse ci permette di determinarne il centro O. Presa una circonferenza centrata in O che intersechi l'ellisse in quattro punti, questi risulteranno vertici di un rettangolo i cui assi di simmetria coincideranno con gli assi dell'ellisse. Determinati gli assi è facile trovare i fuochi.
(non penso servano davvero 13 rette ausiliarie)

[elianto84]

Up!

Ho trovato una soluzione vagamente più efficiente, Gif a seguire.
http://poisson.phc.unipi.it/~daurizio/D ... Fuochi.gif

Ed un'altra <b>decisamente</b> più efficiente, testo a seguire.
Prendiamo sei punti distinti P,Q,R,S,T,U sull'ellisse in modo che SU risulti parallelo a PR,
ST risulti parallelo a PQ. L'intersezione tra la retta per i punti medi di PQ e TS
e la retta per i punti medi di PR e SU sarà il centro dell'ellisse.

In ogni caso il Contest rimane aperto.