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come si dimostra il teorema di de L'Hôpital per le forme indeterminate del tipo $ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] $ ?

(ricordo che il teorema di de l'Hôpital afferma che se $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} $ si presenta in una forma indeterminata ed esiste $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} $, allora il primo limite e il secondo coincidono)

Io ho solo una dimostrazione (parziale) per la $ $ \left[ \frac{0}{0} \right] $ $.

Uhm ... vediamo se mi viene :

Supponiamo dunque che per $ x\to c $ si abbia $ g(x)\to\infty $.
Sia inoltre $ L=\lim_{x\to c}f'(x)/g'(x) $. Fissiamo a,b tali che $ L<a<b $ e sia d tale che $ |x-c|\leq d $ implica $ f'(x)/g'(x)\leq a<b $; allora per ogni x,y distanti meno di d da c si ha
$ \dfrac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\dfrac{f'(t)}{g'(t)}\leq a $.

Scegliamo ora $ d_1 $ tale che $ |x-c|\leq d_1 $ implica $ g(y)<g(x) $ e moltiplichiamo la relaizone di sopra per (g(x)-g(y))/g(x) :
$ \dfrac{f(x)}{g(x)}\leq a-a\dfrac{g(y)}{g(x)}+\dfrac{f(y)}{g(x)} $
facendo tendere x a c si ottiene
$ \lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}\leq a <b $
per ogni reale b maggiore di L.

Si può far lo stesso scegliendo $ b<a<L $ e mostrare che
$ b<a\leq \lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} $
da cui la tesi.