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Retta che biseca una tangente (dal Kedlaya)
Inviato: 13 ott 2006, 21:40
da edriv
Da un punto O esterno alla circonferenza traccio le tangenti OA e OB. La parallela ad OB per A interseca di nuovo la circonferenza in C. La retta OC interseca di nuovo la circonferenza in E. La retta AE interseca OB in M. Dimostrare che M è il punto medio di OB.
Non è difficile, basta guardare bene il disegno.
Inviato: 14 ott 2006, 22:14
da enomis_costa88
AEC, MEO e MOA triangoli sono simili (per angle chasing.. divertitevi
).
Quindi:
$ \frac{OM}{ME}=\frac{MA}{OM} $;
$ OM^2=ME*MA $
Inoltre per il teorema della tangente e della secante:
$ MB^2=ME*MA $
da cui OM=MB..
Inviato: 14 ott 2006, 22:36
da edriv
Ok, perfect.
La mia soluzione (dopo che mi sono ingarbugliato a dovere con tutti i rapporti, non riuscendo a vedere che $ MB = ME \cdot MA $) è questa:
Dal fatto che $ \angle MOE = \angle OAE $ segue che BO è tangente alla circonferenza per O,E,A. L'asse radicale tra questa circonferenza e quella per A,C,E è AE. Che biseca la tangente comune, BO.