Beh aggiungo qualche appunto su come impostare una soluzione, per chi non era presente alla lezione.
1 - come fare il disegno.
Disegnare sul piano la funzione "passo successivo", ovvero $ ~ y=f(x) = |2x-3| $ e l'identità ($ ~ y=x $).
A questo punto, il punto iniziale è: $ ~ a_0 = (\sqrt{2},0) $. Come faccio a trovare il valore successivo?
Se traccio la verticale per $ ~ a_0 $ e trovo l'intersezione con y=f(x), ottengo un punto di coordinate $ ~ (a_0, f(a_0)) $. Se traccio l'orrizzontale per questo punto e trovo l'intersezione con y=x, ottengo il punto $ ~ (f(a_0), f(a_0)) $. Quindi, prima l'ascissa era $ ~ a_0 $, ora è $ ~ a_1 $. Se procedo con queste linee, mi posso fare un'idea di come si comporta la funzione.
Ad esempio, arrivo a congetturare che i valore che $ a_n $ può assumere appartengono ad un intervallo limitato... facile da verificare.
Posso anche continuare a disegnare fino a convincermi che è caotica
2 - il limite. Poichè f è continua (e questa condizione è proprio necessaria), se la successione ha un limite l, questo deve soddisfare:
$ ~ f(l) = l $
che non è difficile da dimostrare proprio con le definizioni di limite e continuità.
Grazie a questa proprietà, riusciamo a scegliere dei "candiati" limiti.
3 - ... risolvetelo.
Può accadere che un certo a_n sia uguale ad l? Invece, se a_n è molto vicino ad l, cosa succede?
