OliForum Matematico

Forse molti la conosceranno già...
Determinare una funzione $ f(x):R{\longmapsto}R $, che sia nel suo dominio ovunque continua e derivabile, e tale che in un suo punto $ x_0 $, si abbia che$ f'(x_0)=0 $. Si sappia inoltre che $ x_0 $ non è nè un punto di massimo, nè un punto di minimo' nè un punto di flesso orizzontale.

potrebbe essere una f definita come
$ \displaystyle f(x)=x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ se $ x \neq 0 $ e
$ f(x)=0 $ se $ x=0 $???

$ \lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin(1/x)}{x}=\lim_{x\to0}\sin(1/x) $ che non esiste ... quella funzione è continua in 0, ma non derivabile.

ho editato, se fosse così la f?

Esatto, hydro, era quella che avevo in mente anch'io. Ne esistono altre?

Certo, ne esistono esattamente $ \displaystyle 2^{\aleph_0} $.

Se ne può sapere qualcosa di più, o $ $ \aleph_0 $ $ è abbastanza piccolo per tentare di indovinarli tutti?
(scusate, sono sempre il solito non-matematico e non-liceale )

penso che mind si riferisse a qualcosa tipo
$ f_k(x)=kx^2\sin(1/x) $ o $ f_k(x)=x^2\sin(1/x)+k $
per $ k\in\mathbb{R} $ hai un continuo di funzioni che soddisfano quella cosa...
Inoltre le funzioni continue da R in R hanno anch'esse al più la cardinalità del continuo (se le fissi sui razionali hai finito quindi sono meno di $ \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0}=2^{\aleph_0} $) e dunque le nostre funzioni che hanno almeno la cardinalità del continuo ma sono continue, hanno esattamente la cardinalità del continuo.