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Quali triangoli soddisfano questa uguaglianza:

$ \frac{p^4}{S^2}=3^3 $ ?

Naturalmente, p è il semiperimetro ed S è l'area.

Tra tutti i triangoli di perimetro fissato, l'equilatero è quello di superficie massima.

Giustificazione: dette A,B,C le lunghezze dei segmenti si Soddy (distanze
dei vertici dalle proiezioni dell'incentro sui lati) il quadrato della superficie
è pari a

ABC(A+B+C)

e massimizzando questa quantità soggetta al vincolo (A+B+C)=p,
per i moltiplicatori di Lagrange, o se preferite per AM-GM, si ha

A = B = C

segue che l'identità che riporti è soddisfatta solo dai triangoli equilateri.

Ottimo, Elianto
Questa uguaglianza si può anche
provare passando attraverso Erone
e AM-GM, ottenendo:

$ \left(\frac{p}{3}\right)^{\small 3} = (p-a)(p-b)(p-c) = \frac{abc}{8} $

dove a, b e c sono i lati del triangolo.