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Caratterizzare tutte le affinità che mandano almeno una circonferenza in una circonferenza.

Buon lavoro, Simone.

Nessuno risponde, quindi mando la mie banalissima soluzione.
Siano $ C( \alpha_2 , \beta_2) $ il centro e r_2 il raggio di $ \gamma_2 $ (la circonferenza trasformata), che ha quindi equazione
$ X^2+Y^2-2 \alpha_2 X-2 \beta_2 Y+ \alpha_2 ^2+ \beta_2 ^2-r_2^2=0 $
e l'affinità abbia equazioni
X=ax+by+p
Y=cx+dy+q
L’equazione di $ \gamma_1 $ (la prima circonferenza) è allora
$ (ax+by+p)^2+(cx+dy+q)^2+ \ldots=0 $
ed è una circonferenza se il coefficiente di xy è zero, cioè se 2ab+2cd=0, scrivibile come
(1) 2ab=-2cd
e i coefficienti di $ x^2 $ e $ y^2 $ sono uguali, cioè se $ a^2+c^2=b^2+d^2 $, scrivibile come
(2) $ a^2-b^2=d^2-c^2 $
Quadrando e sommando queste due formule si ottiene $ (a^2+b^2)^2=(d^2+c^2)^2 $ da cui, poiché il segno meno va escluso, $ a^2+b^2=d^2+c^2 $ . Dal confronto di questa con la (2) si ha subito $ d^2=a^2 $ e $ c^2=b^2 $ e quindi d= $ \pm $ a e $ c= \mp $ b , avendo scelto i segni in modo da soddisfare anche la (1).
Ne consegue che la trasformazione richiesta è una similitudine e quindi trasforma ogni circonferenza in una circonferenza.

Mi sembra una caratterizzazione sufficiente, anche se volendo si può aggiungere che, posto $ k=\frac{r_2}{r_1} $ ed indicando con $ \phi $ un angolo qualsiasi, l'affinità ha equazioni
$ X-\alpha_2=(x-\alpha_1)k \cos \phi +(y-\beta_1)k \sin \phi $
$ Y-\beta_2=-(x-\alpha_1)k \sin \phi +(y-\beta_1)k \cos \phi $
Scommetterei però che enomis_costa88 ha proposto questo quesito avendo in mente una soluzione più elegante; poichè io non riesco a trovarla, posso chiedergli qual'era?

Dunque..avevo trovato due soluzioni..una analoga alla tua (solo avevo supposto che l'affinità mandasse x^2+y^2=1 in se, a meno di due omotetie + traslazioni) l'altra è la seguente:

Considero la conica (ellisse o circonferenza) che passa per tutti i punti che dividono ciascun lato di un triangolo in tre parti.

Se è una circonferenza allora il triangolo è equilatero:

La potenza di C rispetto alla cfr =$ \frac{b}{3}\frac{2b}{3}=\frac{a}{3}\frac{2a}{3} $
La potenza di A rispetto alla cfr = $ \frac{c}{3}\frac{2c}{3}=\frac{b}{3}\frac{2b}{3} $
da cui a=b=c.

Data una circonferenza posso trovare facilmente un triangolo equilatero t.c. la circonferenza passi per tutti i punti che dividono i lati in tre parti uguali (basta trasformare un caso già visto con un'omotetia più traslazione).

Supponiamo quindi di applicare al triangolo equilatero un'affinità che non sia una similitudine.
Questa affinità manderà l’equilatero in un non equilatero e quindi la circonferenza che passa per i sei punti fissati in una non cfr che passerà ancora per i punti che dividono i lati in tre parti uguali.

Quindi solo le similitudini vanno bene.